AさんとBさんが繰り返し対戦し、Aさんの勝つ確率が常に $1/3$ であるとき、先に3勝した方を優勝とする。 (1) Aさんが5回戦目で優勝する確率を求める。 (2) Aさんが5回戦目で優勝するとき、1,2回戦ともBさんが勝っていた条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

AさんとBさんが繰り返し対戦し、Aさんの勝つ確率が常に $1/3$ であるとき、先に3勝した方を優勝とする。

(1) Aさんが5回戦目で優勝する確率を求める。

(2) Aさんが5回戦目で優勝するとき、1,2回戦ともBさんが勝っていた条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) Aさんが5回戦目で優勝するためには、5回戦目にAさんが勝ち、それまでの4回戦でAさんが2勝していなければならない。

4回戦でAさんが2勝する確率は、二項分布を用いて $_4C_2 (1/3)^2 (2/3)^2$ と表せる。

5回戦目にAさんが勝つ確率は $1/3$ である。

したがって、Aさんが5回戦目で優勝する確率は $_4C_2 (1/3)^2 (2/3)^2 (1/3)$ で計算できる。

$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ より、

$_4C_2 (1/3)^2 (2/3)^2 (1/3) = 6 \times (1/9) \times (4/9) \times (1/3) = 6 \times 4 / (9 \times 9 \times 3) = 24 / 243 = 8/81$。

(2) Aさんが5回戦目で優勝し、かつ1,2回戦でBさんが勝つ確率は、1,2回戦でBさんが勝ち、3,4回戦でAさんが2回勝ち、5回戦でAさんが勝つ確率である。これは、$(2/3) \times (2/3) \times (1/3) \times (1/3) \times (1/3) \times {}_2C_2 = (4/9) (1/9) (1/3) (1)= 4/243$である。

Aさんが5回戦目で優勝する確率は(1)で求めたように$8/81 = 24/243$である。

求める条件付き確率は、$\frac{P(\text{Aが5回戦で優勝} \cap \text{1,2回戦でBが勝利})}{P(\text{Aが5回戦で優勝})} = \frac{4/243}{24/243} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{81}$

(2) $\frac{1}{6}$