$\tan \theta = \frac{1}{3}$ のとき $(0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\tan \theta = \frac{1}{3}$ のとき $(0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{1}{3}$ であるから、

$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{3}$

$\sin \theta = \frac{1}{3} \cos \theta$

三角関数の相互関係より、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$(\frac{1}{3} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{9} \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{10}{9} \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{9}{10}$

$\cos \theta = \pm \frac{3}{\sqrt{10}}$

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲で $\tan \theta = \frac{1}{3} > 0$ であるから、$\theta$ は第一象限の角である。したがって、$\cos \theta > 0$ となり、

$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$

$\sin \theta = \frac{1}{3} \cos \theta = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\sin \theta$ を求めるべき形式に合わせるために、$\frac{1}{\sqrt{10}}$を分母にルートを残した形で解答する。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$