三角形ABCにおいて、$AB=10$, $BC=10\sqrt{3}$, $C=30^\circ$のとき、$CA$の長さを求め、$CA$の値に応じて角$A$と角$B$の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=10$, $BC=10\sqrt{3}$, $C=30^\circ$のとき、$CA$の長さを求め、$CA$の値に応じて角$A$と角$B$の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$CA$の長さを求めます。

$CA = x$ とおくと、

$(10\sqrt{3})^2 = 10^2 + x^2 - 2 \cdot 10 \cdot x \cdot \cos 30^\circ$

$300 = 100 + x^2 - 20x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x^2 - 10\sqrt{3}x - 200 = 0$

これを解くと、

$x = \frac{10\sqrt{3} \pm \sqrt{(10\sqrt{3})^2 - 4(1)(-200)}}{2} = \frac{10\sqrt{3} \pm \sqrt{300 + 800}}{2} = \frac{10\sqrt{3} \pm \sqrt{1100}}{2} = \frac{10\sqrt{3} \pm 10\sqrt{11}}{2} = 5\sqrt{3} \pm 5\sqrt{11}$

$x$は正の数なので、$x = 5\sqrt{3} + 5\sqrt{11}$または$x = 5\sqrt{11} - 5\sqrt{3}$.

$5\sqrt{3} \approx 5(1.732) = 8.66$

$5\sqrt{11} \approx 5(3.317) = 16.585$

$5\sqrt{11}-5\sqrt{3} \approx 7.925$

$5\sqrt{11}+5\sqrt{3} \approx 25.245$

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$だから、

$\frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{10\sqrt{3}}{\sin A}$

$\sin A = \frac{10\sqrt{3} \sin 30^\circ}{10} = \frac{10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$A = 60^\circ$ または $A = 120^\circ$

(1) $CA = 5\sqrt{11} - 5\sqrt{3}$のとき、

$A=60^\circ$なので、 $B = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ$

(2) $CA = 5\sqrt{11} + 5\sqrt{3}$のとき、

$A=120^\circ$なので、$B = 180^\circ - (30^\circ + 120^\circ) = 30^\circ$

3. 最終的な答え

$CA = 5\sqrt{11} - 5\sqrt{3}$ または $5\sqrt{11} + 5\sqrt{3}$

$5\sqrt{11} - 5\sqrt{3} < 5\sqrt{11} + 5\sqrt{3}$

$CA = 5\sqrt{11} - 5\sqrt{3}$のとき、$A = 60^\circ$, $B = 90^\circ$

$CA = 5\sqrt{11} + 5\sqrt{3}$のとき、$A = 120^\circ$, $B = 30^\circ$