与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b+c)(ab+bc+ca)$ を展開します。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a(ab+bc+ca) + b(ab+bc+ca) + c(ab+bc+ca)$

$= a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc$

したがって、

$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc - abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

ここで、因数分解を試みます。

$a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc = a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2+2abc$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$