定積分 $\int_0^1 xe^x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 xe^x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。部分積分の公式は次の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

この問題では、$u = x$、$dv = e^x dx$ とします。すると、$du = dx$、$v = e^x$ となります。

部分積分の公式に代入すると、

$\int_0^1 xe^x dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx$

$= [xe^x]_0^1 - [e^x]_0^1$

$= (1e^1 - 0e^0) - (e^1 - e^0)$

$= e - (e - 1)$

$= e - e + 1$

$= 1$

3. 最終的な答え

$\int_0^1 xe^x dx = 1$