曲線 $y = \sqrt{x}$ と $x$軸、および直線 $x=3$ で囲まれる部分を、$x$軸の周りに回転させてできる立体の体積 $V$ を求める問題です。ただし、問題文には $V = \frac{49}{50}\pi$ と書かれていますが、この値が正しいか検証します。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{x}$ と $x$軸、および直線 $x=3$ で囲まれる部分を、$x$軸の周りに回転させてできる立体の体積 $V$ を求める問題です。ただし、問題文には $V = \frac{49}{50}\pi$ と書かれていますが、この値が正しいか検証します。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、積分を使って求めることができます。$y = f(x)$ で表される曲線と $x$ 軸、直線 $x=a$、 $x=b$（ただし $a < b$）で囲まれた部分を $x$軸の周りに回転させてできる立体の体積 $V$ は、次の式で表されます。

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

この問題では、$f(x) = \sqrt{x}$、$a = 0$、$b = 3$ であるので、体積 $V$ は次のようになります。

$V = \pi \int_0^3 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^3 x dx$

積分を実行します。

$V = \pi \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^3 = \pi \left( \frac{1}{2}(3)^2 - \frac{1}{2}(0)^2 \right) = \pi \left( \frac{9}{2} - 0 \right) = \frac{9}{2}\pi$

3. 最終的な答え

したがって、求める体積は $V = \frac{9}{2}\pi$ です。問題文にある $\frac{49}{50}\pi$ は誤りです。

答え: $\frac{9}{2}\pi$