三角関数の加法定理を用いて、以下の値を計算する。 (1) $\sin 75^\circ$ (2) $\cos 15^\circ$ (3) $\tan 105^\circ$ (4) $\sin 45^\circ \sin 15^\circ$ (5) $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$ (6) $\cos^2 30^\circ - \sin^2 30^\circ$

1. 問題の内容

三角関数の加法定理を用いて、以下の値を計算する。

(1) $\sin 75^\circ$

(2) $\cos 15^\circ$

(3) $\tan 105^\circ$

(4) $\sin 45^\circ \sin 15^\circ$

(5) $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$

(6) $\cos^2 30^\circ - \sin^2 30^\circ$

2. 解き方の手順

(1) $\sin 75^\circ$:

75° = 45° + 30°と考える。

$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$を用いて、

$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos 15^\circ$:

15° = 45° - 30°と考える。

$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$を用いて、

$\cos 15^\circ = \cos (45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(3) $\tan 105^\circ$:

105° = 60° + 45°と考える。

$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$を用いて、

$\tan 105^\circ = \tan (60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$

(4) $\sin 45^\circ \sin 15^\circ$:

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\sin 45^\circ \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{12} - 2}{8} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{8} = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

(5) $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$:

$\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$を用いる。

$\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}) \cos(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}) = 2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(6) $\cos^2 30^\circ - \sin^2 30^\circ$:

$\cos^2 A - \sin^2 A = \cos 2A$を用いる。

$\cos^2 30^\circ - \sin^2 30^\circ = \cos(2 \cdot 30^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(3) $-2 - \sqrt{3}$

(4) $\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

(5) $\frac{\sqrt{6}}{2}$

(6) $\frac{1}{2}$