関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + (a+2)x + 1$ が極値を持つための実数 $a$ の条件を求める問題です。最終的な答えは $a < \boxed{\text{??}}, \boxed{\text{??}} < a$ の形で答えます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + (a+2)x + 1$ が極値を持つための実数 $a$ の条件を求める問題です。最終的な答えは $a < \boxed{\text{??}}, \boxed{\text{??}} < a$ の形で答えます。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が極値を持つためには、$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ必要があります。まず、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = x^2 + 2ax + (a+2)$

$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要があります。判別式 $D$ は次のように計算できます。

$D = (2a)^2 - 4(1)(a+2) = 4a^2 - 4a - 8$

$D > 0$ を満たす $a$ の範囲を求めます。

$4a^2 - 4a - 8 > 0$

$a^2 - a - 2 > 0$

$(a-2)(a+1) > 0$

この不等式を解くと、$a < -1$ または $2 < a$ となります。

3. 最終的な答え

$a < -1, 2 < a$