問題166: $\triangle ABC$ において、$c=3$, $a=3\sqrt{3}$, $B=30^\circ$ のとき、$b$の値を求めなさい。 問題167: $\triangle ABC$ において、$b=2$, $c=3$, $A=60^\circ$ のとき、この三角形の面積$S$を求めなさい。

1. 問題の内容

問題166: $\triangle ABC$ において、$c=3$, $a=3\sqrt{3}$, $B=30^\circ$ のとき、$b$の値を求めなさい。

問題167: $\triangle ABC$ において、$b=2$, $c=3$, $A=60^\circ$ のとき、この三角形の面積$S$を求めなさい。

2. 解き方の手順

問題166:

余弦定理を用いて、$b$の値を求める。余弦定理は以下の通り。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

与えられた値を代入する。

$b^2 = (3\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2(3\sqrt{3})(3) \cos 30^\circ$

$b^2 = 27 + 9 - 18\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 36 - 18\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36 - 18 \cdot \frac{3}{2} = 36 - 27 = 9$

$b = \sqrt{9} = 3$ (ただし、$b > 0$なので、正の平方根のみを考慮する)

問題167:

三角形の面積を求める公式を利用する。

$S = \frac{1}{2}bc \sin A$

与えられた値を代入する。

$S = \frac{1}{2}(2)(3) \sin 60^\circ$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

問題166:

$b = 3$

問題167:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}$