次の2つの1次不定方程式を解きます。ここで、$x$ と $y$ は整数とします。 (1) $2x + 5y = 3$ (2) $3x - 5y = 214$

1. 問題の内容

次の2つの1次不定方程式を解きます。ここで、$x$ と $y$ は整数とします。

(1) $2x + 5y = 3$

(2) $3x - 5y = 214$

2. 解き方の手順

(1) $2x + 5y = 3$

まず、特殊解を求めます。

$x = -1, y = 1$ が一つの解であることを見つけます。

$2(-1) + 5(1) = -2 + 5 = 3$

次に、一般解を求めます。

$2x + 5y = 3$

$2(-1) + 5(1) = 3$

これらの式を引き算すると、

$2(x + 1) + 5(y - 1) = 0$

$2(x + 1) = -5(y - 1)$

$2$ と $5$ は互いに素なので、$x + 1$ は $5$ の倍数で、$y - 1$ は $2$ の倍数です。

したがって、$x + 1 = 5k$ と $y - 1 = -2k$ と書けます。（$k$ は整数）

$x = 5k - 1$

$y = -2k + 1$

(2) $3x - 5y = 214$

まず、特殊解を求めます。

$3(73) - 5(1) = 219 - 5 = 214$

したがって、$x = 73, y = 1$ が一つの解です。

次に、一般解を求めます。

$3x - 5y = 214$

$3(73) - 5(1) = 214$

これらの式を引き算すると、

$3(x - 73) - 5(y - 1) = 0$

$3(x - 73) = 5(y - 1)$

$3$ と $5$ は互いに素なので、$x - 73$ は $5$ の倍数で、$y - 1$ は $3$ の倍数です。

したがって、$x - 73 = 5k$ と $y - 1 = 3k$ と書けます。（$k$ は整数）

$x = 5k + 73$

$y = 3k + 1$

3. 最終的な答え

(1) $x = 5k - 1$, $y = -2k + 1$ ($k$ は整数)

(2) $x = 5k + 73$, $y = 3k + 1$ ($k$ は整数)