実数 $a$ に対して、連立不等式 $\begin{cases} |x-3| > 4 \\ |2x-a| < 3 \end{cases}$ について、 (1) $a=14$ のとき、連立不等式の解を求め、解が同じとなる2次不等式を求める。 (2) $a$ が正の奇数のとき、連立不等式が解をもたないような $a$ の値を求める。 (3) $a>6$ のとき、関数 $f(x) = |x-3| - |2x-a|$ に対して、$f(x) \ge 0$ の解を求め、三角形ABCの面積が6となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、連立不等式

$\begin{cases} |x-3| > 4 \\ |2x-a| < 3 \end{cases}$

について、

(1) $a=14$ のとき、連立不等式の解を求め、解が同じとなる2次不等式を求める。

(2) $a$ が正の奇数のとき、連立不等式が解をもたないような $a$ の値を求める。

(3) $a>6$ のとき、関数 $f(x) = |x-3| - |2x-a|$ に対して、$f(x) \ge 0$ の解を求め、三角形ABCの面積が6となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a=14$ のとき、

不等式①は $|x-3| > 4$ より、$x-3 > 4$ または $x-3 < -4$ なので、$x > 7$ または $x < -1$。

したがって、アイは $-1$, ウは $7$。

不等式②は $|2x-14| < 3$ より、$-3 < 2x-14 < 3$ なので、$11 < 2x < 17$。したがって、$11/2 < x < 17/2$。

したがって、エは $11/2$, オカは $17/2$, キは $17/2$。

連立不等式の解は、$11/2 < x < 17/2$ かつ ($x > 7$ または $x < -1$) なので、$11/2 = 5.5$, $17/2 = 8.5$ より、$7 < x < 17/2$。

したがって、エは $7$, オカは $17/2$, キは $17/2$。

解が $7 < x < 17/2$ となる2次不等式は、$2(x-7)(x-17/2) < 0$、つまり $(x-7)(2x-17) < 0$。

$2x^2 - 17x - 14x + 119 < 0$ より $2x^2 - 31x + 119 < 0$。

したがって、クケは $31$, コサシは $119$, スは $1$ (つまり $<$)。

(2) 不等式①は $x < -1$ または $x > 7$。

不等式②は $|2x-a| < 3$ より、$-3 < 2x-a < 3$ なので、$a-3 < 2x < a+3$。したがって、$(a-3)/2 < x < (a+3)/2$。

連立不等式が解をもたない条件は、

$(a+3)/2 \le -1$ または $(a-3)/2 \ge 7$

つまり、$a+3 \le -2$ または $a-3 \ge 14$

$a \le -5$ または $a \ge 17$

$a$ は正の奇数なので、$a \ge 17$ である必要がある。

連立不等式が解をもつ条件は、

$(a-3)/2 < -1$ かつ $(a+3)/2 > 7$。

$a-3 < -2$ かつ $a+3 > 14$

$a < 1$ かつ $a > 11$

これはありえない。

連立不等式が解をもたない条件は、

$a \le -5$ または $a \ge 17$。

正の奇数なので、$a = 1, 3, 5, \dots$。

$a$ が正の奇数で、$a \le -5$ となることはないので、$a \ge 17$。

$a=1, 3, 5, \dots, 15$ であれば連立不等式は解を持つ。

$(a-3)/2 \ge -1$ かつ $(a+3)/2 \le 7$

$a-3 \ge -2$ かつ $a+3 \le 14$

$a \ge 1$ かつ $a \le 11$

$a=1, 3, 5, 7, 9, 11$ では解を持つ。

したがって、$1 \le a \le 11$ の奇数と、$a \ge 17$ の奇数では解を持つ。

$a=13, 15$ なら解を持つ。

$a=13$ のとき、$5 < x < 8$

$a=15$ のとき、$6 < x < 9$

$17 \le a \le$ となる奇数では解を持たない。

問題に書かれていませんが、$a$ の範囲が限定されているはずです。$a$ に上限がないと、解なしとなる $a$ は無限に存在するので。

ここでは、$1 \le a \le 20$ という条件を追加して考えることにします。

このとき、$a=17, 19$ が解をもたない正の奇数となるので、セは $2$。

(3) $f(x) = |x-3| - |2x-a|$

$f(x) \ge 0$ のとき、$|x-3| \ge |2x-a|$

$(x-3)^2 \ge (2x-a)^2$

$x^2 - 6x + 9 \ge 4x^2 - 4ax + a^2$

$0 \ge 3x^2 - (4a-6)x + (a^2-9)$

$3x^2 - (4a-6)x + (a^2-9) \le 0$

解が $\alpha \le x \le \beta$ となる場合、

$x = \frac{(4a-6) \pm \sqrt{(4a-6)^2 - 12(a^2-9)}}{6} = \frac{(4a-6) \pm \sqrt{16a^2-48a+36-12a^2+108}}{6} = \frac{(4a-6) \pm \sqrt{4a^2-48a+144}}{6} = \frac{(4a-6) \pm 2|a-6|}{6} = \frac{(2a-3) \pm |a-6|}{3}$

$a > 6$ より、$|a-6| = a-6$ なので、

$x = \frac{2a-3 \pm (a-6)}{3}$

$x = \frac{2a-3+a-6}{3} = \frac{3a-9}{3} = a-3$

$x = \frac{2a-3-a+6}{3} = \frac{a+3}{3}$

したがって、$\frac{a+3}{3} \le x \le a-3$

ソは $3$, タは $3$, チは $3$。

$A(\frac{a+3}{3}, 0), B(a-3, 0), C(\frac{a}{2}, f(\frac{a}{2}))$

$f(\frac{a}{2}) = |\frac{a}{2}-3| - |a-a| = |\frac{a}{2}-3| = \frac{a}{2}-3$ (since $a>6$)

したがって、$C(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}-3)$

$\triangle ABC$ の面積は $\frac{1}{2} \times |a-3-\frac{a+3}{3}| \times |\frac{a}{2}-3| = 6$

$\frac{1}{2} \times |\frac{3a-9-a-3}{3}| \times |\frac{a-6}{2}| = 6$

$\frac{1}{2} \times |\frac{2a-12}{3}| \times |\frac{a-6}{2}| = 6$

$\frac{1}{12} \times |2a-12| \times |a-6| = 6$

$\frac{1}{6} (a-6)^2 = 6$

$(a-6)^2 = 36$

$a-6 = \pm 6$

$a = 12$ または $a = 0$

$a > 6$ より $a = 12$

ツテは $12$

3. 最終的な答え

(1) アイ: -1, ウ: 7, エ: 7, オカ: 17/2, キ: 17/2, クケ: 31, コサシ: 119, ス: 1 ( < )

(2) セ: 2 (ただし、$1 \le a \le 20$ の場合)

(3) ソ: 3, タ: 3, チ: 3, ツテ: 12