三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AB, BCをAQ:QB = 3:2, BR:RC = 1:2に内分するとき、AO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AB, BCをAQ:QB = 3:2, BR:RC = 1:2に内分するとき、AO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

チェバの定理より、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{4}{3}$

したがって、AP:PC = 3:4

次に、メネラウスの定理を三角形BCRと直線AQに適用する。

$\frac{BA}{AQ} \cdot \frac{QO}{OR} \cdot \frac{RC}{CB} = 1$

$\frac{5}{3} \cdot \frac{AO}{OR} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{AO}{OR} = \frac{9}{10}$

したがって、AO:OR = 9:10

3. 最終的な答え

AO:OR = 9:10