三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AB, BCをそれぞれ$AQ:QB = 3:2$, $BR:RC = 1:2$に内分するとき、$AO:OR$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AB, BCをそれぞれ$AQ:QB = 3:2$, $BR:RC = 1:2$に内分するとき、$AO:OR$を求めよ。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を三角形BCQと直線ARに適用すると、

$$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CA}{AQ} \cdot \frac{QO}{OB} = 1$$

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{QO}{OB} = 1$$

$$\frac{QO}{OB} = \frac{6}{5}$$

したがって、

$$QO:OB = 6:5$$

次に、メネラウスの定理を三角形ABRと直線CQに適用すると、

$$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$$

$$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$$

$$\frac{9}{4} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$$

$$\frac{RO}{OA} = \frac{4}{9}$$

したがって、

$$AO:OR = 9:4$$

3. 最終的な答え

9 : 4