三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを2:1に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分します。このとき、線分COと線分ORの長さの比CO:ORを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを2:1に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分します。このとき、線分COと線分ORの長さの比CO:ORを求めます。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を使うことで解くことができます。

まず、チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QA}{AR} = 1$

この問題の場合、$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{2}$, $\frac{AQ}{QC} = \frac{2}{1}$なので、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{2}{1} = 1$

したがって、$\frac{BC}{CQ} = 1$なので、$BC=CQ$となります。

つまり、$\frac{BC}{AQ} = \frac{BC}{AC \times \frac{2}{3}} = \frac{3BC}{2AC}$

次に、メネラウスの定理を三角形ABRと直線OCに関して適用します。

$\frac{AO}{OR} \cdot \frac{RC}{CB} \cdot \frac{BQ}{QA} = 1$

$\frac{AO}{OR} \cdot \frac{BC}{AC} = \frac{CO}{OR}$

メネラウスの定理を三角形ABRと直線CQに関して適用すると、

$\frac{AC}{CQ} \cdot \frac{CO}{OB} \cdot \frac{BR}{RA} = 1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{CO}{OB} \cdot 2 = 1$

$\frac{CO}{OB} = \frac{1}{6}$

メネラウスの定理を三角形BCQと直線ARに関して適用すると、

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$

$\frac{CO}{OR} = x$とおくと、

$\frac{CO}{OC+OR} = \frac{x}{x+1}$

$\frac{OR}{CO} = \frac{1}{x}$

メネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{OA+AO}{AC} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{OA+AO}{AC} = 1$

$\frac{OA+AO}{AC} = \frac{2}{3}$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$ より、

$\frac{1}{2} \times \frac{BC}{QC} \times \frac{CQ}{QA} = 1$

よって $\frac{QC}{OA} = \frac{2}{3}$

$\frac{CO}{OR} = 5/1$,

$\frac{CO}{OR} = \frac{CO}{OA} = \frac{CO}{AB}$.

メネラウスの定理を△ABRに直線CQを適用すると、

$\frac{BC}{CQ} \times \frac{QO}{OA} \times \frac{AQ}{QC} = 1$

なので、$\frac{3}{1} \times \frac{AO}{OR} = 6$

3. 最終的な答え

5 : 1