問題a, b, c, d が与えられ、それぞれの問題に対する太郎君の解答について、先生がコメントする形式の問題です。 問題a: $\sqrt{8} + \sqrt{32}$ を計算する問題で、太郎君は $\sqrt{8+32} = \sqrt{40}$ と解答しています。 問題b: $\sqrt{4a^4 + 4a^2 + 1}$ を簡単にする問題で、太郎君は $\sqrt{(2a^2+1)^2} = 2a^2+1$ と解答しています。 問題c: $\sqrt{36 - 16\sqrt{5}}$ を簡単にする問題で、太郎君は $\sqrt{(4 - 2\sqrt{5})^2} = 4 - 2\sqrt{5}$ と解答しています。 問題d: $\sqrt{20} + \sqrt{21}$ の整数部分を求める問題で、太郎君は $\sqrt{20}$ の整数部分は4であり、$\sqrt{21}$ の整数部分も4であるから、$\sqrt{20} + \sqrt{21}$ の整数部分は $4+4=8$ であると解答しています。

1. 問題の内容

問題a, b, c, d が与えられ、それぞれの問題に対する太郎君の解答について、先生がコメントする形式の問題です。

問題a: $\sqrt{8} + \sqrt{32}$ を計算する問題で、太郎君は $\sqrt{8+32} = \sqrt{40}$ と解答しています。

問題b: $\sqrt{4a^4 + 4a^2 + 1}$ を簡単にする問題で、太郎君は $\sqrt{(2a^2+1)^2} = 2a^2+1$ と解答しています。

問題c: $\sqrt{36 - 16\sqrt{5}}$ を簡単にする問題で、太郎君は $\sqrt{(4 - 2\sqrt{5})^2} = 4 - 2\sqrt{5}$ と解答しています。

問題d: $\sqrt{20} + \sqrt{21}$ の整数部分を求める問題で、太郎君は $\sqrt{20}$ の整数部分は4であり、$\sqrt{21}$ の整数部分も4であるから、$\sqrt{20} + \sqrt{21}$ の整数部分は $4+4=8$ であると解答しています。

2. 解き方の手順

問題a: $\sqrt{8} + \sqrt{32} = 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ であるため、太郎君の解答は間違っています。$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}$ は一般には成立しません。a>0, b>0 のとき、$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}$ が成立することもありますが、常に成立するわけではありません。

問題b: $4a^4 + 4a^2 + 1 = (2a^2)^2 + 2(2a^2)(1) + 1^2 = (2a^2 + 1)^2$ なので、$\sqrt{4a^4 + 4a^2 + 1} = \sqrt{(2a^2 + 1)^2} = |2a^2 + 1| = 2a^2 + 1$ となります。太郎君の解答は正しいです。

問題c: $36 - 16\sqrt{5} = (4 - 2\sqrt{5})^2$ であるため、$\sqrt{36 - 16\sqrt{5}} = \sqrt{(4 - 2\sqrt{5})^2} = |4 - 2\sqrt{5}|$ となります。$2\sqrt{5} = \sqrt{20}$ であり、$4 = \sqrt{16}$ なので、$4 < 2\sqrt{5}$。したがって、$|4 - 2\sqrt{5}| = -(4 - 2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 4$ となります。太郎君の解答は間違っています。

問題d: $\sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25}$ より $4 < \sqrt{20} < 5$ なので、$\sqrt{20}$ の整数部分は4です。$\sqrt{16} < \sqrt{21} < \sqrt{25}$ より $4 < \sqrt{21} < 5$ なので、$\sqrt{21}$ の整数部分は4です。したがって、$\sqrt{20} + \sqrt{21}$ の整数部分は $4 < \sqrt{20} < 5$ および $4 < \sqrt{21} < 5$ を考慮すると、 $8 < \sqrt{20} + \sqrt{21} < 10$ となります。$\sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 2 \times 2.236 = 4.472$, $\sqrt{21} \approx 4.583$ なので、 $\sqrt{20} + \sqrt{21} \approx 9.055$ となり、整数部分は9となります。したがって、太郎君の解答は間違っています。

問題a: 太郎君の解答は不正解なので、答えは①または②です。$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}$ は常に成立しないので、①が正解です。

問題bと問題c: 問題bは正解、問題cは不正解なので、答えは①です。

問題d: 答えは間違っています。考え方も間違っているので、答えは②です。

3. 最終的な答え

ア: ①

イ: ①

ウ: ②