(1) 不等式 $x^2 - 2x - 8 \ge 0$ を解く問題。 (2) 方程式 $|x^2 - 2x - 8| = x + 6$ の実数解の個数とその総和を求める問題。また、最大の実数解を $\alpha$ としたときに $\alpha^4 - 6\alpha^3 + 9\alpha^2$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $x^2 - 2x - 8 \ge 0$ を解く問題。

(2) 方程式 $|x^2 - 2x - 8| = x + 6$ の実数解の個数とその総和を求める問題。また、最大の実数解を $\alpha$ としたときに $\alpha^4 - 6\alpha^3 + 9\alpha^2$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $x^2 - 2x - 8 \ge 0$ を解く。

$x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) \ge 0$

よって、$x \le -2$ または $4 \le x$

(2) 方程式 $|x^2 - 2x - 8| = x + 6$ を解く。

場合分けをする。

(i) $x^2 - 2x - 8 \ge 0$ のとき、つまり $x \le -2$ または $4 \le x$ のとき、

$x^2 - 2x - 8 = x + 6$

$x^2 - 3x - 14 = 0$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{65}}{2}$

$x \le -2$ または $4 \le x$ を満たすかどうか確認する。

$x_1 = \frac{3 - \sqrt{65}}{2} \approx \frac{3 - 8.06}{2} \approx -2.53 < -2$ なので、$x_1$ は条件を満たす。

$x_2 = \frac{3 + \sqrt{65}}{2} \approx \frac{3 + 8.06}{2} \approx 5.53 > 4$ なので、$x_2$ は条件を満たす。

(ii) $x^2 - 2x - 8 < 0$ のとき、つまり $-2 < x < 4$ のとき、

$-(x^2 - 2x - 8) = x + 6$

$-x^2 + 2x + 8 = x + 6$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = 2, -1$

$-2 < x < 4$ を満たすかどうか確認する。

$x = 2$ は条件を満たす。

$x = -1$ は条件を満たす。

したがって、解は $x = \frac{3 - \sqrt{65}}{2}, \frac{3 + \sqrt{65}}{2}, 2, -1$ の4つである。

実数解は4個。解の総和は

$\frac{3 - \sqrt{65}}{2} + \frac{3 + \sqrt{65}}{2} + 2 - 1 = 3 + 2 - 1 = 4$

$\alpha$ は最大の実数解なので $\alpha = \frac{3 + \sqrt{65}}{2}$ である。

$\alpha = \frac{3 + \sqrt{65}}{2}$ より、 $2\alpha - 3 = \sqrt{65}$

$(2\alpha - 3)^2 = 65$

$4\alpha^2 - 12\alpha + 9 = 65$

$4\alpha^2 - 12\alpha - 56 = 0$

$\alpha^2 - 3\alpha - 14 = 0$

$\alpha^2 = 3\alpha + 14$

$\alpha^3 = \alpha(3\alpha + 14) = 3\alpha^2 + 14\alpha = 3(3\alpha + 14) + 14\alpha = 9\alpha + 42 + 14\alpha = 23\alpha + 42$

$\alpha^4 = \alpha(23\alpha + 42) = 23\alpha^2 + 42\alpha = 23(3\alpha + 14) + 42\alpha = 69\alpha + 322 + 42\alpha = 111\alpha + 322$

$\alpha^4 - 6\alpha^3 + 9\alpha^2 = (111\alpha + 322) - 6(23\alpha + 42) + 9(3\alpha + 14) = 111\alpha + 322 - 138\alpha - 252 + 27\alpha + 126 = (111 - 138 + 27)\alpha + (322 - 252 + 126) = 0\alpha + 196 = 96$

$\alpha^4 - 6\alpha^3 + 9\alpha^2 = \alpha^2 (\alpha^2 - 6\alpha + 9) = \alpha^2 (\alpha - 3)^2 = (\alpha(\alpha - 3))^2 = (\alpha^2 - 3\alpha)^2 = (3\alpha + 14 - 3\alpha)^2 = 14^2 = 196$

3. 最終的な答え

(1) $x \le -2, 4 \le x$

(2) 実数解の個数：4個, 解の総和：4, $\alpha^4 - 6\alpha^3 + 9\alpha^2 = 196$