生徒5人の1週間の読書時間 $x$ (時間) とテレビの視聴時間 $y$ (時間) を調べ、$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めるための表を完成させ、その上で $x$ と $y$ の共分散、分散、標準偏差、相関係数をそれぞれ求める問題です。

以下に、問題の回答を示します。

1. 問題の内容

生徒5人の1週間の読書時間 $x$ (時間) とテレビの視聴時間 $y$ (時間) を調べ、$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めるための表を完成させ、その上で $x$ と $y$ の共分散、分散、標準偏差、相関係数をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、表を完成させます。

- $x$ の平均 $\bar{x}$ を計算します。

- $y$ の平均 $\bar{y}$ を計算します。

- 各生徒について、$x$ の偏差 ($x - \bar{x}$)、$y$ の偏差 ($y - \bar{y}$)、$(x \text{の偏差})^2$、$(y \text{の偏差})^2$、偏差の積 ($(x - \bar{x})(y - \bar{y})$) を計算します。

- 各列の合計を計算します。

次に、共分散、分散、標準偏差、相関係数を求めます。

- 共分散 $S_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$

- $x$ の分散 $S_x^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$

- $y$ の分散 $S_y^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2$

- $x$ の標準偏差 $S_x = \sqrt{S_x^2}$

- $y$ の標準偏差 $S_y = \sqrt{S_y^2}$

- 相関係数 $r = \frac{S_{xy}}{S_x S_y}$

表を埋めて計算します。

$x$ の合計は $4+7+1+3+5 = 20$。

$y$ の合計は $11+5+17+8+9 = 50$。

$\bar{x} = 20/5 = 4$

$\bar{y} = 50/5 = 10$

| 生徒 | x | y | xの偏差 | (xの偏差)^2 | yの偏差 | (yの偏差)^2 | 偏差の積 |

|---|---|---|---|---|---|---|---|

| A | 4 | 11 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |

| B | 7 | 5 | 3 | 9 | -5 | 25 | -15 |

| C | 1 | 17 | -3 | 9 | 7 | 49 | -21 |

| D | 3 | 8 | -1 | 1 | -2 | 4 | 2 |

| E | 5 | 9 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 |

| 計 | 20 | 50 | 0 | 20 | 0 | 80 | -35 |

共分散 $S_{xy} = (-35)/5 = -7$

$x$ の分散 $S_x^2 = 20/5 = 4$

$y$ の分散 $S_y^2 = 80/5 = 16$

$x$ の標準偏差 $S_x = \sqrt{4} = 2$

$y$ の標準偏差 $S_y = \sqrt{16} = 4$

相関係数 $r = \frac{-7}{2 \times 4} = -\frac{7}{8} = -0.875$

3. 最終的な答え

1) 表は上記参照

2) 共分散: -7

3) $x$ の分散: 4、$x$ の標準偏差: 2、$y$ の分散: 16、$y$ の標準偏差: 4、相関係数: -0.875