10本のくじの中に当たりくじが2本入っている。Aさんが1本くじを引き、次にBさんが残りの9本のくじから2本引く。Aさんの引いた当たりくじの本数を$X$、Bさんの引いた当たりくじの本数を$Y$とする。$X$と$Y$の同時分布を求める問題。

1. 問題の内容

10本のくじの中に当たりくじが2本入っている。Aさんが1本くじを引き、次にBさんが残りの9本のくじから2本引く。Aさんの引いた当たりくじの本数を$X$、Bさんの引いた当たりくじの本数を$Y$とする。$X$と$Y$の同時分布を求める問題。

2. 解き方の手順

$X$と$Y$がとりうる値を考え、それぞれの確率を計算する。

$X$がとりうる値は0と1。$Y$がとりうる値は0, 1, 2。

同時確率分布は$P(X=x, Y=y)$で表される。

(1) $X=0$のとき:

Aさんが外れを引く確率は $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

このとき、残りのくじは9本で、当たりは2本のまま。Bさんが2本引く。

- $Y=0$となる確率は、$\frac{7C2}{9C2} = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$

よって、$P(X=0, Y=0) = \frac{4}{5} \times \frac{7}{12} = \frac{28}{60} = \frac{7}{15}$

- $Y=1$となる確率は、$\frac{2C1 * 7C1}{9C2} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$

よって、$P(X=0, Y=1) = \frac{4}{5} \times \frac{7}{18} = \frac{28}{90} = \frac{14}{45}$

- $Y=2$となる確率は、$\frac{2C2}{9C2} = \frac{1}{36}$

よって、$P(X=0, Y=2) = \frac{4}{5} \times \frac{1}{36} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45}$

(2) $X=1$のとき:

Aさんが当たりを引く確率は $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

このとき、残りのくじは9本で、当たりは1本。Bさんが2本引く。

- $Y=0$となる確率は、$\frac{8C2}{9C2} = \frac{28}{36} = \frac{7}{9}$

よって、$P(X=1, Y=0) = \frac{1}{5} \times \frac{7}{9} = \frac{7}{45}$

- $Y=1$となる確率は、$\frac{1C1 * 8C1}{9C2} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$

よって、$P(X=1, Y=1) = \frac{1}{5} \times \frac{2}{9} = \frac{2}{45}$

- $Y=2$となる確率は、$\frac{0C2}{9C2} = 0$

よって、$P(X=1, Y=2) = \frac{1}{5} \times 0 = 0$

3. 最終的な答え

同時分布は以下のようになる。

| X\Y | 0 | 1 | 2 |

|----|------|------|------|

| 0 | 7/15 | 14/45 | 1/45 |

| 1 | 7/45 | 2/45 | 0 |