問題は、確率変数 $X$ が与えられたとき、以下の確率変数 $Y$ の期待値 $E[Y]$、分散 $V[Y]$、標準偏差 $\sigma[Y]$ を求めるというものです。 (1) $Y = X + 1$ (2) $Y = -2X$ (3) $Y = 3X - 2$ ただし、確率変数 $X$ の期待値 $E[X]$、分散 $V[X]$、標準偏差 $\sigma[X]$ は既知であるとします。

1. 問題の内容

問題は、確率変数 $X$ が与えられたとき、以下の確率変数 $Y$ の期待値 $E[Y]$、分散 $V[Y]$、標準偏差 $\sigma[Y]$ を求めるというものです。

(1) $Y = X + 1$

(2) $Y = -2X$

(3) $Y = 3X - 2$

ただし、確率変数 $X$ の期待値 $E[X]$、分散 $V[X]$、標準偏差 $\sigma[X]$ は既知であるとします。

2. 解き方の手順

確率変数の線形変換における期待値、分散、標準偏差の性質を利用します。

(1) $Y = X + 1$ の場合：

- 期待値: $E[Y] = E[X + 1] = E[X] + 1$

- 分散: $V[Y] = V[X + 1] = V[X]$

- 標準偏差: $\sigma[Y] = \sqrt{V[Y]} = \sqrt{V[X]} = \sigma[X]$

(2) $Y = -2X$ の場合：

- 期待値: $E[Y] = E[-2X] = -2E[X]$

- 分散: $V[Y] = V[-2X] = (-2)^2V[X] = 4V[X]$

- 標準偏差: $\sigma[Y] = \sqrt{V[Y]} = \sqrt{4V[X]} = 2\sigma[X]$

(3) $Y = 3X - 2$ の場合：

- 期待値: $E[Y] = E[3X - 2] = 3E[X] - 2$

- 分散: $V[Y] = V[3X - 2] = (3)^2V[X] = 9V[X]$

- 標準偏差: $\sigma[Y] = \sqrt{V[Y]} = \sqrt{9V[X]} = 3\sigma[X]$

3. 最終的な答え

(1) $Y = X + 1$ の場合：

- $E[Y] = E[X] + 1$

- $V[Y] = V[X]$

- $\sigma[Y] = \sigma[X]$

(2) $Y = -2X$ の場合：

- $E[Y] = -2E[X]$

- $V[Y] = 4V[X]$

- $\sigma[Y] = 2\sigma[X]$

(3) $Y = 3X - 2$ の場合：

- $E[Y] = 3E[X] - 2$

- $V[Y] = 9V[X]$

- $\sigma[Y] = 3\sigma[X]$