三角形ABCにおいて、辺BCを1:2に内分する点をD、辺CAを2:1に内分する点をEとし、線分AD, BEの交点をFとする。三角形ABCの面積をSとするとき、以下の問いに答える問題です。 (1) ED:AB, AF:FD, BF:FEを求める。 (2) 三角形ABDと三角形ABFの面積をSを用いて表す。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを1:2に内分する点をD、辺CAを2:1に内分する点をEとし、線分AD, BEの交点をFとする。三角形ABCの面積をSとするとき、以下の問いに答える問題です。

(1) ED:AB, AF:FD, BF:FEを求める。

(2) 三角形ABDと三角形ABFの面積をSを用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) ED:ABについて：メネラウスの定理を三角形ACDと直線BEに適用する。

$\frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FD} \cdot \frac{DB}{BC} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{AF}{FD} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{AF}{FD} = 3$

したがって、AF:FD = 3:1。

次に、メネラウスの定理を三角形BCEと直線ADに適用する。

$\frac{CD}{DB} \cdot \frac{BF}{FE} \cdot \frac{EA}{AC} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BF}{FE} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{BF}{FE} = 3$

したがって、BF:FE = 3:1。

ここで、チェバの定理より、

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BG}{GA} = 1$

ただし、Gは辺AB上の点であり、CGがA,D,Eを通る交点にある。

$\\frac{2}{1} \cdot \\frac{1}{2} \cdot \\frac{BG}{GA} = 1$

$\frac{BG}{GA} = 1$

したがって、BG = GA。

次に、三角形BDEと直線ACにメネラウスの定理を適用する。

$\frac{BC}{CD} \cdot \frac{DA}{AF} \cdot \frac{FE}{EB} = 1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{FE}{EB} = 1$

$\\frac{FE}{EB} = \\frac{1}{4}$

よって、BE = 4FE。

また、BF = 3FEなので、BE = BF + FE = 3FE + FE = 4FE。

三角形ACDと直線BEにメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FD} \cdot \frac{DB}{BC} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{AF}{FD} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{AF}{FD} = 3$

AF:FD = 3:1。

三角形BCEと直線ADにメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{CD}{DB} \cdot \frac{BF}{FE} \cdot \frac{EA}{AC} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BF}{FE} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{BF}{FE} = 3$

BF:FE = 3:1。

三角形ABCにおいて、BD:DC = 1:2なので、

三角形ABD = (1/3) * 三角形ABC = (1/3)S。

三角形ABFの面積について考える。

ADとBEの交点がFなので、AF:FD = BF:FE = x:yと置くと、

AF:FD = 3:1、BF:FE = 3:1なので、x=3, y=1。

このとき、三角形ABF = k * Sと置くと、

k = xy / ((x+1)(y+1)) = 3*3 / ((3+1)(3+1)) = 9 / 16。

したがって、三角形ABF = (3/4) * (3/4) * S = (9/16) S。

チェバの定理を用いて、

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BX}{XA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{BX}{XA} = 1$

BX = XAより、XはABの中点。

△ABD = (BD/BC) * △ABC = (1/3) * S

面積比に関する公式より、$\triangle ABF = \frac{AE}{AC} \cdot \frac{BD}{BC} \triangle ABC \cdot \frac{CF}{AD} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot S \cdot \frac{CF}{AD}$。

$AF : FD = 3:1$

$BF : FE = 3:1$

$\triangle ABD = \frac{1}{3} S$

$\triangle ABE = \frac{2}{3} S$

$\triangle ABF = \frac{AF}{AD} \cdot \frac{BF}{BE} \triangle ABE$

$\triangle ABF = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot S$

よって $\triangle ABF = \frac{9}{16}S$

(2) 三角形ABD = (BD/BC) * 三角形ABC = (1/3)S。

三角形ABFの面積は、三角形ABEの面積のBF/BE倍である。

三角形ABE = (AE/AC) * 三角形ABC = (2/3)S。

BF/BE = 3/4なので、三角形ABF = (3/4) * (2/3)S = (1/2)S。

3. 最終的な答え

(1) ED:AB = 2:3

AF:FD = 3:1

BF:FE = 3:1

(2) 三角形ABD = $\frac{1}{3}S$

三角形ABF = $\frac{1}{2}S$

1: 3

2: 1

3: 3

4: 1

5: 1

6: 3

7: 1

8: 2