与えられた一次不定方程式を解き、$x$と$y$の整数解を求めます。 (1) $2x + 5y = 3$ (2) $3x - 5y = 214$ (3) $231x - 533y = 2$ (4) $491x - 321y = 231$ (5) $4x + 2y = 3$

はい、承知いたしました。次の一次不定方程式を解きます。$x$、$y$は整数とします。

1. 問題の内容

与えられた一次不定方程式を解き、$x$と$y$の整数解を求めます。

(1) $2x + 5y = 3$

(2) $3x - 5y = 214$

(3) $231x - 533y = 2$

(4) $491x - 321y = 231$

(5) $4x + 2y = 3$

2. 解き方の手順

各方程式に対して、以下の手順で解を求めます。

(1) $2x + 5y = 3$

まず、特殊解を求めます。$2(-1) + 5(1) = 3$ なので、$x_0 = -1$, $y_0 = 1$ は一つの解です。

次に、一般解を求めます。$2x + 5y = 3$ と $2(-1) + 5(1) = 3$ の差をとると、

$2(x + 1) + 5(y - 1) = 0$ となります。

変形すると、$2(x + 1) = -5(y - 1)$ となります。

2と5は互いに素なので、$x + 1 = 5k$, $y - 1 = -2k$ ($k$は整数) と書けます。

したがって、$x = 5k - 1$, $y = -2k + 1$ が一般解となります。

(2) $3x - 5y = 214$

まず、特殊解を求めます。 $3(73) - 5(1) = 214$ なので、$x_0 = 73$, $y_0 = 1$ は一つの解です。

次に、一般解を求めます。$3x - 5y = 214$ と $3(73) - 5(1) = 214$ の差をとると、

$3(x - 73) - 5(y - 1) = 0$ となります。

変形すると、$3(x - 73) = 5(y - 1)$ となります。

3と5は互いに素なので、$x - 73 = 5k$, $y - 1 = 3k$ ($k$は整数) と書けます。

したがって、$x = 5k + 73$, $y = 3k + 1$ が一般解となります。

(3) $231x - 533y = 2$

まず、231 と 533 の最大公約数をユークリッドの互除法で求めます。

$533 = 2 \cdot 231 + 71$

$231 = 3 \cdot 71 + 18$

$71 = 3 \cdot 18 + 17$

$18 = 1 \cdot 17 + 1$

$17 = 17 \cdot 1 + 0$

したがって、最大公約数は 1 です。

この式を満たす整数解が存在するため、特殊解を求めます。

$1 = 18 - 17 = 18 - (71 - 3 \cdot 18) = 4 \cdot 18 - 71 = 4 \cdot (231 - 3 \cdot 71) - 71 = 4 \cdot 231 - 13 \cdot 71 = 4 \cdot 231 - 13 \cdot (533 - 2 \cdot 231) = 30 \cdot 231 - 13 \cdot 533$

$231(30) - 533(13) = 1$

したがって、$231(60) - 533(26) = 2$ より、$x_0 = 60$, $y_0 = 26$ は一つの解です。

次に、一般解を求めます。$231x - 533y = 2$ と $231(60) - 533(26) = 2$ の差をとると、

$231(x - 60) - 533(y - 26) = 0$ となります。

変形すると、$231(x - 60) = 533(y - 26)$ となります。

231と533は互いに素なので、$x - 60 = 533k$, $y - 26 = 231k$ ($k$は整数) と書けます。

したがって、$x = 533k + 60$, $y = 231k + 26$ が一般解となります。

(4) $491x - 321y = 231$

まず、491 と 321 の最大公約数をユークリッドの互除法で求めます。

$491 = 1 \cdot 321 + 170$

$321 = 1 \cdot 170 + 151$

$170 = 1 \cdot 151 + 19$

$151 = 7 \cdot 19 + 18$

$19 = 1 \cdot 18 + 1$

$18 = 18 \cdot 1 + 0$

したがって、最大公約数は 1 です。

$1 = 19 - 18 = 19 - (151 - 7 \cdot 19) = 8 \cdot 19 - 151 = 8 \cdot (170 - 151) - 151 = 8 \cdot 170 - 9 \cdot 151 = 8 \cdot 170 - 9 \cdot (321 - 170) = 17 \cdot 170 - 9 \cdot 321 = 17 \cdot (491 - 321) - 9 \cdot 321 = 17 \cdot 491 - 26 \cdot 321$

$491(17) - 321(26) = 1$

したがって、$491(17 \cdot 231) - 321(26 \cdot 231) = 231$ より、$x_0 = 17 \cdot 231$, $y_0 = 26 \cdot 231$ は一つの解です。$x_0 = 3927$, $y_0 = 6006$.

次に、一般解を求めます。$491x - 321y = 231$ と $491(3927) - 321(6006) = 231$ の差をとると、

$491(x - 3927) - 321(y - 6006) = 0$ となります。

変形すると、$491(x - 3927) = 321(y - 6006)$ となります。

491と321は互いに素なので、$x - 3927 = 321k$, $y - 6006 = 491k$ ($k$は整数) と書けます。

したがって、$x = 321k + 3927$, $y = 491k + 6006$ が一般解となります。

(5) $4x + 2y = 3$

$2(2x + y) = 3$ となります。

左辺は偶数ですが、右辺は奇数であるため、この方程式を満たす整数解は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $x = 5k - 1$, $y = -2k + 1$ ($k$は整数)

(2) $x = 5k + 73$, $y = 3k + 1$ ($k$は整数)

(3) $x = 533k + 60$, $y = 231k + 26$ ($k$は整数)

(4) $x = 321k + 3927$, $y = 491k + 6006$ ($k$は整数)

(5) 解なし