与えられた一次不定方程式を解き、$x$と$y$の整数解を求めます。 (1) $2x + 5y = 3$ (2) $3x - 5y = 214$ (3) $231x - 533y = 2$ (4) $491x - 321y = 231$ (5) $4x + 2y = 3$

数論一次不定方程式整数解ユークリッドの互除法
2025/4/7
はい、承知いたしました。次の一次不定方程式を解きます。xxyyは整数とします。

1. 問題の内容

与えられた一次不定方程式を解き、xxyyの整数解を求めます。
(1) 2x+5y=32x + 5y = 3
(2) 3x5y=2143x - 5y = 214
(3) 231x533y=2231x - 533y = 2
(4) 491x321y=231491x - 321y = 231
(5) 4x+2y=34x + 2y = 3

2. 解き方の手順

各方程式に対して、以下の手順で解を求めます。
(1) 2x+5y=32x + 5y = 3
まず、特殊解を求めます。2(1)+5(1)=32(-1) + 5(1) = 3 なので、x0=1x_0 = -1, y0=1y_0 = 1 は一つの解です。
次に、一般解を求めます。2x+5y=32x + 5y = 32(1)+5(1)=32(-1) + 5(1) = 3 の差をとると、
2(x+1)+5(y1)=02(x + 1) + 5(y - 1) = 0 となります。
変形すると、2(x+1)=5(y1)2(x + 1) = -5(y - 1) となります。
2と5は互いに素なので、x+1=5kx + 1 = 5k, y1=2ky - 1 = -2k (kkは整数) と書けます。
したがって、x=5k1x = 5k - 1, y=2k+1y = -2k + 1 が一般解となります。
(2) 3x5y=2143x - 5y = 214
まず、特殊解を求めます。 3(73)5(1)=2143(73) - 5(1) = 214 なので、x0=73x_0 = 73, y0=1y_0 = 1 は一つの解です。
次に、一般解を求めます。3x5y=2143x - 5y = 2143(73)5(1)=2143(73) - 5(1) = 214 の差をとると、
3(x73)5(y1)=03(x - 73) - 5(y - 1) = 0 となります。
変形すると、3(x73)=5(y1)3(x - 73) = 5(y - 1) となります。
3と5は互いに素なので、x73=5kx - 73 = 5k, y1=3ky - 1 = 3k (kkは整数) と書けます。
したがって、x=5k+73x = 5k + 73, y=3k+1y = 3k + 1 が一般解となります。
(3) 231x533y=2231x - 533y = 2
まず、231 と 533 の最大公約数をユークリッドの互除法で求めます。
533=2231+71533 = 2 \cdot 231 + 71
231=371+18231 = 3 \cdot 71 + 18
71=318+1771 = 3 \cdot 18 + 17
18=117+118 = 1 \cdot 17 + 1
17=171+017 = 17 \cdot 1 + 0
したがって、最大公約数は 1 です。
この式を満たす整数解が存在するため、特殊解を求めます。
1=1817=18(71318)=41871=4(231371)71=42311371=423113(5332231)=30231135331 = 18 - 17 = 18 - (71 - 3 \cdot 18) = 4 \cdot 18 - 71 = 4 \cdot (231 - 3 \cdot 71) - 71 = 4 \cdot 231 - 13 \cdot 71 = 4 \cdot 231 - 13 \cdot (533 - 2 \cdot 231) = 30 \cdot 231 - 13 \cdot 533
231(30)533(13)=1231(30) - 533(13) = 1
したがって、231(60)533(26)=2231(60) - 533(26) = 2 より、x0=60x_0 = 60, y0=26y_0 = 26 は一つの解です。
次に、一般解を求めます。231x533y=2231x - 533y = 2231(60)533(26)=2231(60) - 533(26) = 2 の差をとると、
231(x60)533(y26)=0231(x - 60) - 533(y - 26) = 0 となります。
変形すると、231(x60)=533(y26)231(x - 60) = 533(y - 26) となります。
231と533は互いに素なので、x60=533kx - 60 = 533k, y26=231ky - 26 = 231k (kkは整数) と書けます。
したがって、x=533k+60x = 533k + 60, y=231k+26y = 231k + 26 が一般解となります。
(4) 491x321y=231491x - 321y = 231
まず、491 と 321 の最大公約数をユークリッドの互除法で求めます。
491=1321+170491 = 1 \cdot 321 + 170
321=1170+151321 = 1 \cdot 170 + 151
170=1151+19170 = 1 \cdot 151 + 19
151=719+18151 = 7 \cdot 19 + 18
19=118+119 = 1 \cdot 18 + 1
18=181+018 = 18 \cdot 1 + 0
したがって、最大公約数は 1 です。
1=1918=19(151719)=819151=8(170151)151=81709151=81709(321170)=171709321=17(491321)9321=17491263211 = 19 - 18 = 19 - (151 - 7 \cdot 19) = 8 \cdot 19 - 151 = 8 \cdot (170 - 151) - 151 = 8 \cdot 170 - 9 \cdot 151 = 8 \cdot 170 - 9 \cdot (321 - 170) = 17 \cdot 170 - 9 \cdot 321 = 17 \cdot (491 - 321) - 9 \cdot 321 = 17 \cdot 491 - 26 \cdot 321
491(17)321(26)=1491(17) - 321(26) = 1
したがって、491(17231)321(26231)=231491(17 \cdot 231) - 321(26 \cdot 231) = 231 より、x0=17231x_0 = 17 \cdot 231, y0=26231y_0 = 26 \cdot 231 は一つの解です。x0=3927x_0 = 3927, y0=6006y_0 = 6006.
次に、一般解を求めます。491x321y=231491x - 321y = 231491(3927)321(6006)=231491(3927) - 321(6006) = 231 の差をとると、
491(x3927)321(y6006)=0491(x - 3927) - 321(y - 6006) = 0 となります。
変形すると、491(x3927)=321(y6006)491(x - 3927) = 321(y - 6006) となります。
491と321は互いに素なので、x3927=321kx - 3927 = 321k, y6006=491ky - 6006 = 491k (kkは整数) と書けます。
したがって、x=321k+3927x = 321k + 3927, y=491k+6006y = 491k + 6006 が一般解となります。
(5) 4x+2y=34x + 2y = 3
2(2x+y)=32(2x + y) = 3 となります。
左辺は偶数ですが、右辺は奇数であるため、この方程式を満たす整数解は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) x=5k1x = 5k - 1, y=2k+1y = -2k + 1 (kkは整数)
(2) x=5k+73x = 5k + 73, y=3k+1y = 3k + 1 (kkは整数)
(3) x=533k+60x = 533k + 60, y=231k+26y = 231k + 26 (kkは整数)
(4) x=321k+3927x = 321k + 3927, y=491k+6006y = 491k + 6006 (kkは整数)
(5) 解なし

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