相似比が $5:3$ の $\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ がある。$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ の面積比を求め、$\triangle ABC$ の面積が $150 cm^2$ のとき、$\triangle DEF$ の面積を求める。

1. 問題の内容

相似比が $5:3$ の $\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ がある。$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ の面積比を求め、$\triangle ABC$ の面積が $150 cm^2$ のとき、$\triangle DEF$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 相似な図形の面積比は、相似比の2乗に等しい。$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ の相似比は $5:3$ なので、面積比は $5^2 : 3^2$ となる。

$5^2 = 25$

$3^2 = 9$

したがって、$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ の面積比は $25:9$ である。

(2) $\triangle ABC$ の面積が $150 cm^2$ であり、$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ の面積比が $25:9$ であるから、$\triangle DEF$ の面積を $x cm^2$ とすると、

$25:9 = 150:x$

が成り立つ。これを解くと、

$25x = 9 \times 150$

$25x = 1350$

$x = \frac{1350}{25}$

$x = 54$

したがって、$\triangle DEF$ の面積は $54 cm^2$ である。

3. 最終的な答え

$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ の面積比は $25:9$ であり、$\triangle DEF$ の面積は $54 cm^2$ である。