台形ABCDにおいて、AD // BCであり、AD = 3cm、BC = 9cmである。対角線ACとBDの交点をOとする。三角形OCBの面積が108cm²のとき、三角形OADと三角形OABの面積をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AD // BCであり、AD = 3cm、BC = 9cmである。対角線ACとBDの交点をOとする。三角形OCBの面積が108cm²のとき、三角形OADと三角形OABの面積をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形OADと三角形OCBが相似であることを示します。

AD // BCより、∠OAD = ∠OCB、∠ODA = ∠OBCであるため、二角がそれぞれ等しいので、$\triangle OAD \sim \triangle OCB$となります。

相似比は、AD:BC = 3:9 = 1:3となります。

面積比は、相似比の二乗なので、$1^2 : 3^2 = 1:9$となります。

三角形OADの面積をSとすると、三角形OCBの面積は9Sとなります。問題文より、三角形OCBの面積は108cm²なので、

$9S = 108$

$S = 108 / 9 = 12$

したがって、三角形OADの面積は12cm²です。

次に、三角形OABの面積を求めます。

三角形ABDと三角形ACDの面積は、底辺ADが共通で、高さが等しいので面積が等しいです。つまり、$\triangle ABD = \triangle ACD$です。

$\triangle ABD = \triangle OAD + \triangle OAB$

$\triangle ACD = \triangle OAD + \triangle OCD$

したがって、$\triangle OAB = \triangle OCD$です。

また、$\triangle OAD$と$\triangle OCB$の面積比が1:9だったので、$\triangle OAD:\triangle OCD = OA:OC = AD:BC=1:3$

$\triangle OCD$の面積をTとすると、

$\triangle OAD:\triangle OCD = 12:T$

したがって、$12:T=1:3$

$T=12 \times 3=36$

ゆえに、$\triangle OAB = \triangle OCD = 36$cm²です。

3. 最終的な答え

三角形OADの面積は12cm²であり、三角形OABの面積は36cm²である。