2つの相似な円錐PとQがある。円錐Pの底面の半径は4cm、円錐Qの底面の半径は16cmである。 (1) 円錐Qの表面積が$560\pi cm^2$のとき、円錐Pの表面積を求める。 (2) 円錐Pの体積が$15\pi cm^3$のとき、円錐Qの体積を求める。

1. 問題の内容

2つの相似な円錐PとQがある。円錐Pの底面の半径は4cm、円錐Qの底面の半径は16cmである。

(1) 円錐Qの表面積が$560\pi cm^2$のとき、円錐Pの表面積を求める。

(2) 円錐Pの体積が$15\pi cm^3$のとき、円錐Qの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 相似比は、底面の半径の比で求められる。

相似比 $k$ は、

$k = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

表面積の比は相似比の2乗になる。

したがって、円錐Pの表面積を$S_P$, 円錐Qの表面積を$S_Q$とすると、

$\frac{S_P}{S_Q} = k^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

$S_Q = 560\pi$ より、

$S_P = \frac{1}{16} S_Q = \frac{1}{16} \times 560\pi = 35\pi$

(2) 体積の比は相似比の3乗になる。

したがって、円錐Pの体積を$V_P$, 円錐Qの体積を$V_Q$とすると、

$\frac{V_P}{V_Q} = k^3 = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$

$V_P = 15\pi$ より、

$V_Q = 64 V_P = 64 \times 15\pi = 960\pi$

3. 最終的な答え

(1) 円錐Pの表面積は $35\pi cm^2$

(2) 円錐Qの体積は $960\pi cm^3$