問題は以下の通りです。 1から100までのすべての自然数の積を$N$とします。 $N$を素因数分解したとき、次の問いに答えなさい。 (1) $N$の素因数の中で次のものを求めよ。 ① 指数が1である最大の素因数 ② 指数が2である最大の素因数 ③ 指数が5であるすべての素因数 (2) 素因数3の指数を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

1から100までのすべての自然数の積を$N$とします。

$N$を素因数分解したとき、次の問いに答えなさい。

(1) $N$の素因数の中で次のものを求めよ。

① 指数が1である最大の素因数

② 指数が2である最大の素因数

③ 指数が5であるすべての素因数

(2) 素因数3の指数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

① 指数が1である最大の素因数

1から100までの自然数の積$N$は、$N = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 100$です。

素数のうち、100以下の最大の素数は97です。97は1から100までの積の中で1回しか現れないので、その指数は1です。したがって、指数が1である最大の素因数は97です。

② 指数が2である最大の素因数

1から100までの自然数の積の中で、ある素数$p$の指数が2となる最大の$p$を求めます。

素数$p$の倍数の個数は$\lfloor \frac{100}{p} \rfloor$で与えられます。

$p$の2乗の倍数の個数は$\lfloor \frac{100}{p^2} \rfloor$で与えられます。

$p$の3乗の倍数の個数は$\lfloor \frac{100}{p^3} \rfloor$で与えられます。

したがって、$p$の指数は$\lfloor \frac{100}{p} \rfloor + \lfloor \frac{100}{p^2} \rfloor + \lfloor \frac{100}{p^3} \rfloor + \cdots$で計算できます。

指数が2となる最大の素数$p$を求めます。

$p = 47$のとき、$\lfloor \frac{100}{47} \rfloor = 2$なので、指数は少なくとも2です。$\lfloor \frac{100}{47^2} \rfloor = 0$なので、47の指数は2です。

$p=43$のとき、$\lfloor \frac{100}{43} \rfloor = 2$なので、指数は少なくとも2です。$\lfloor \frac{100}{43^2} \rfloor = 0$なので、43の指数は2です。

$p=3$のとき、$\lfloor \frac{100}{3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{9} \rfloor + \lfloor \frac{100}{27} \rfloor + \lfloor \frac{100}{81} \rfloor = 33 + 11 + 3 + 1 = 48$

$p=2$のとき、$\lfloor \frac{100}{2} \rfloor + \lfloor \frac{100}{4} \rfloor + \lfloor \frac{100}{8} \rfloor + \lfloor \frac{100}{16} \rfloor + \lfloor \frac{100}{32} \rfloor + \lfloor \frac{100}{64} \rfloor = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97$

指数が2である最大の素因数は47です。

③ 指数が5であるすべての素因数

$p$の指数は$\lfloor \frac{100}{p} \rfloor + \lfloor \frac{100}{p^2} \rfloor + \lfloor \frac{100}{p^3} \rfloor + \cdots$で計算できます。

$p$の指数が5となるようなすべての素数を求めます。

$p = 19$のとき、$\lfloor \frac{100}{19} \rfloor = 5$、$\lfloor \frac{100}{19^2} \rfloor = 0$なので、指数は5です。

$p = 17$のとき、$\lfloor \frac{100}{17} \rfloor = 5$、$\lfloor \frac{100}{17^2} \rfloor = 0$なので、指数は5です。

したがって、指数が5である素因数は17と19です。

(2) 素因数3の指数を求めよ。

$N$に含まれる素因数3の指数は、

$\lfloor \frac{100}{3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{3^2} \rfloor + \lfloor \frac{100}{3^3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{3^4} \rfloor = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{9} \rfloor + \lfloor \frac{100}{27} \rfloor + \lfloor \frac{100}{81} \rfloor = 33 + 11 + 3 + 1 = 48$

3. 最終的な答え

(1)

① 97

② 47

③ 17, 19

(2) 48