(1) 円の中心Oを持つ円において、指定された角度$\theta$を求めます。 (2) 円の接線PTを持つ円において、指定された長さxを求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

(1) 円の中心Oを持つ円において、指定された角度$\theta$を求めます。

(2) 円の接線PTを持つ円において、指定された長さxを求めます。

2. 解き方の手順

(1) - ①

$\angle BOC = 65^\circ + 25^\circ = 90^\circ$

円の中心角は、円周角の2倍なので、

$\angle BAC = \theta = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$

(1) - ②

$\angle PAB = \angle ACB = \theta$ (接弦定理)

$\angle ABP = 180^\circ - 50^\circ - \theta = 130^\circ - \theta$

$\angle APB + \angle PAB + \angle ABP = 180^\circ$

$50^\circ + \theta + 130^\circ - \theta = 180^\circ$

円に内接する四角形の対角の和は180°なので、

$\angle ACB + \angle ABP = \theta + 130^\circ - \theta = 180^\circ$

三角形 APB において、

$\angle BAP = \theta$ （接線と弦の定理）

$\angle ABP = 180^\circ - \theta - 50^\circ$

$\angle ACB + \angle ABP = 180^\circ$ (四角形ACBPは円に内接する)

$\theta + 180^\circ - \theta - 50^\circ = 180^\circ$

円に内接する四角形の対角の和は180度なので

$\theta + 50^\circ = 180^\circ$

$\angle ACB = \theta$

よって、$\angle ABC = 180^\circ - (\theta + 50^\circ)$

したがって、

$\theta + (180^\circ - (\theta + 50^\circ)) = 180^\circ - 50^\circ$

$\theta = 50^\circ$

$\theta = 50^\circ$

(2) - ①

方べきの定理より

$PA \cdot PC = PB \cdot PD$

$x \cdot (x+5) = 9 \cdot (9+5)$

$x^2 + 5x = 9 \cdot 14$

$x^2 + 5x = 126$

$x^2 + 5x - 126 = 0$

$(x - 9)(x + 14) = 0$

$x = 9$

(2) - ②

円の接線と割線に関する定理より、

$PT^2 = PA \cdot PB$

$6^2 = x \cdot (x+9)$

$36 = x^2 + 9x$

$x^2 + 9x - 36 = 0$

$(x+12)(x-3)=0$

$x = -12, 3$

ただし、$x>0$なので、$x = 3$

3. 最終的な答え

(1) - ①: $\theta = 45^\circ$

(1) - ②: $\theta = 50^\circ$

(2) - ①: $x = 9$

(2) - ②: $x = 3$