円の外部の点Pから円に引いた割線に関する問題で、線分PAの長さを$x$として求めます。与えられた情報は、線分PCの長さが4、線分CAの長さが5、線分BAの長さが9です。

1. 問題の内容

円の外部の点Pから円に引いた割線に関する問題で、線分PAの長さを$x$として求めます。与えられた情報は、線分PCの長さが4、線分CAの長さが5、線分BAの長さが9です。

2. 解き方の手順

円の割線の性質より、点Pから円に引いた2つの割線PAとPB, PCとPDに対して、

$PA \times PB = PC \times PD$

が成り立ちます。

今回の問題では、$PA = x$、$CA = 5$、$PC = 4$、$BA = 9$ なので、$PB = PA + AB = x + 9$、$PD = PC + CD = PC + CA + AD = 4 + 5 + AD = 9 + CD$

円の割線の性質を用いると

$PA \times PB = PC \times (PC + CA + AD)$

ただし、$CD = CA + AD$　

$PA \times PB = PC \times PD$

$x(x+9) = 4 \times (4+5)$

$x(x+9) = 4 \times 9$

$x(x+9) = 36$

$x^2 + 9x = 36$

$x^2 + 9x - 36 = 0$

$(x+12)(x-3) = 0$

$x=-12, x=3$

$x$は線分の長さなので、$x>0$より、$x=3$

3. 最終的な答え

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