三角形ABCにおいて、辺BCを2:1に内分する点をD、辺CAを1:2に内分する点をEとする。線分ADとBEの交点をFとする。三角形ABCの面積をSとするとき、以下の比と面積を求めよ。 (1) ED:AB, AF:FD, BF:FE (2) 三角形ABDの面積、三角形ABFの面積

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを2:1に内分する点をD、辺CAを1:2に内分する点をEとする。線分ADとBEの交点をFとする。三角形ABCの面積をSとするとき、以下の比と面積を求めよ。

(1) ED:AB, AF:FD, BF:FE

(2) 三角形ABDの面積、三角形ABFの面積

2. 解き方の手順

(1)

まず、メネラウスの定理を三角形ADCと直線BEに適用する。

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{DF}{FA} = \frac{4}{3}$

よって、 $AF:FD = 3:4$

次に、メネラウスの定理を三角形BCEと直線ADに適用する。

$\frac{CD}{DB} \cdot \frac{BA}{AE} \cdot \frac{EF}{FC} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{AB}{AE} \cdot \frac{EF}{FC} = 1$

チェバの定理を三角形ABCに適用する。

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{BF}{FE} = 1$

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{AE}{EC} = \frac{1}{2}, \frac{CD}{DB} = \frac{1}{2}$

$\frac{BF}{FE} = \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 4$

よって $BF:FE = 4:1$

ここで、三角形ACEと点Bにメネラウスの定理を適用すると

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{BF}{FE} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{BE}{ED} = 1$

$\frac{BE}{ED} = \frac{CB}{BD} = \frac{3}{1}$

すると、$EC = 2AE$であり、$BC = BD+CD = 3CD$より$BD = 2CD$

ここで、三角形ADCにおいて、メネラウスの定理を適用すると、$\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CB}{BD}\cdot\frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{DF}{FA} = 1$よって$\frac{DF}{FA} = \frac{4}{3}$となり、$AF:FD = 3:4$

三角形BCEにおいてメネラウスの定理を適用すると、$\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BA}{AE}\cdot\frac{EF}{FC} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{AB}{AE} \cdot \frac{EF}{FB} = 1$

同様に、チェバの定理より、$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{BF}{FE} = 1$よって、$\frac{BF}{FE} = 4$となり、$BF:FE = 4:1$

ABとDEの関係について、AB//DEではないことに注意すると、AB:ED = 5:1/2 = 1: x/5 = 10

ABとEDの比については、ベクトルで考える。

$\vec{AD} = \frac{2\vec{AB}+\vec{AC}}{3}$

$\vec{AE} = \frac{1\vec{AC}+2\vec{AA}}{3} = \frac{1}{3}\vec{AC}$

$\vec{ED} = \vec{AD} - \vec{AE} = \frac{2\vec{AB}+\vec{AC}}{3} - \frac{1}{3}\vec{AC} = \frac{2}{3}\vec{AB}$

よって、$ED:AB = 2:3$

(2)

$BD:DC = 2:1$より、$\triangle ABD = \frac{2}{3}\triangle ABC = \frac{2}{3}S$

$AF:FD = 3:4$より、$\triangle ABF = \frac{3}{7}\triangle ABD = \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}S = \frac{2}{7}S$

3. 最終的な答え

(1)

ED:AB = 2:3

AF:FD = 3:4

BF:FE = 4:1

(2)

$\triangle ABD = \frac{2}{3}S$

$\triangle ABF = \frac{2}{7}S$