三角形ABCにおいて、辺ACを1:2に内分する点をEとし、線分ADとBEの交点をFとします。三角形ABCの面積をSとするとき、以下の比および面積を求めます。 (1) ED:AB, AF:FD = BF:FE (2) 三角形ABDの面積、三角形ABFの面積

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ACを1:2に内分する点をEとし、線分ADとBEの交点をFとします。三角形ABCの面積をSとするとき、以下の比および面積を求めます。

(1) ED:AB, AF:FD = BF:FE

(2) 三角形ABDの面積、三角形ABFの面積

2. 解き方の手順

(1)

まず、点Eを通り、ABに平行な線を引き、ADとの交点をGとします。

すると、三角形ABFと三角形EGFは相似になります。

AE:EC = 1:2より、EC:AC = 2:3です。

また、EG//ABより、EG:AB = EC:AC = 2:3。

次に、三角形GEDと三角形ABDは相似になります。

したがって、ED:AB = EG:2EG = 2:3 = 1:3/2 となります。これは間違いなので、メネラウスの定理を使う。

メネラウスの定理より、

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

チェバの定理より、

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BG}{GA} = 1$

ADとBEの交点がFである。

ADとBCの交点がDである。

AE:EC=1:2である。

BD:DCの比を求める。

三角形ADCにおいてBEについてメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$CB = CD + DB$

$CD:DB = x:y$とすると、$CB = x+y$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x+y}{y} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

次に、三角形EBCにおいてADについてメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{CD}{DB} \cdot \frac{BA}{AE} \cdot \frac{EF}{FC} = 1$

ED:ABの比は、三角形CEDと三角形CABの相似比で求める。AE:AC=1:3なので、CE:CA=2:3。よって、ED:AB = 2:3である。

ED:AB=x:yより、

AB:ED=y:x=3:2

(1)の後半について

AF:FD = BF:FE = 3:xとする。

チェバの定理を用いると、BD/DC * CE/EA * AF/FB=1である。

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$ より、

$\frac{CD}{DB}=\frac{2FA}{BF}$

メネラウスの定理を使うと、$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{x}{3} = 1$

三角形ABCにおいて、チェバの定理より$\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BF}{FA}=1$。

よって$\frac{1}{2}\cdot\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BF}{FA}=1$

ゆえに$CD/DB=2AF/BF$. よって、BC/BD=1+2AF/BF=(BF+2AF)/BFとなる。

$\frac{CD}{BD}=\frac{2}{1}*\frac{FA}{FB}=\frac{2FA}{FB}=\frac{6}{3}$.

BD:DC=3:

6.

BD:DC=2:4。

$\frac{AE}{EC} \frac{CD}{DB} \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{1}{2} * \frac{CD}{DB} * \frac{3}{x} = 1$

$\frac{BF}{FE}$は、三角形ADCについてメネラウスの定理から求める。

AD上でメネラウスの定理: $\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CB}{BD}\cdot\frac{DF}{FA}=1$より

$\frac{1}{2}\cdot\frac{CB}{BD}\cdot\frac{DF}{FA}=1$

ここでCB/BD=(CD+DB)/DB=CD/DB + 1

BE上でメネラウスの定理：$\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BA}{AE}\cdot\frac{EF}{FC}=1$

BD:DC = 2:4 (チェバの定理などから求められる). CD = 2DCなので CD/DC =

2.

(2)

BD:DC = 2:1より、ADは三角形ABCを2:1に分けるので、

三角形ABD = (BD/(BD+DC)) * S = (2/(2+1)) * S = (2/3)*S

したがって、三角形ABDの面積は $S$ の$\frac{2}{3}$倍となる。

ABF:ABC = (AF/AD) * (BF/BE)となる。

AF:FD=3:xとおくとAF:AD=3/(3+x)となる。

BF:FE=3:xとおくとBF:BE=3/(3+x)となる。

三角形ABF = (AF/AD) * (BE/BF) * 三角形ABD = 3/4 *2/3 *S = 1/2 * S.

3. 最終的な答え

(1) ED:AB = 2:3

AF:FD = BF:FE = 3:2

(2) 三角形ABD = (2/3)S, 三角形ABF = (1/2)S