与えられた角度 $\theta$ に対して、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める問題です。具体的には、以下の角度に対する三角関数の値を求めます。 (7) $\sin \frac{4}{3}\pi$ (8) $\cos \frac{11}{6}\pi$ (9) $\tan \frac{5}{4}\pi$ (10) $\sin (-\frac{\pi}{2})$ (11) $\cos (-\frac{\pi}{4})$ (12) $\tan (-\frac{\pi}{6})$ (13) $\sin (-\frac{11}{4}\pi)$ (14) $\cos (-\frac{7}{3}\pi)$ (15) $\tan (-\frac{5}{3}\pi)$

1. 問題の内容

与えられた角度 $\theta$ に対して、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める問題です。具体的には、以下の角度に対する三角関数の値を求めます。

(7) $\sin \frac{4}{3}\pi$

(8) $\cos \frac{11}{6}\pi$

(9) $\tan \frac{5}{4}\pi$

(10) $\sin (-\frac{\pi}{2})$

(11) $\cos (-\frac{\pi}{4})$

(12) $\tan (-\frac{\pi}{6})$

(13) $\sin (-\frac{11}{4}\pi)$

(14) $\cos (-\frac{7}{3}\pi)$

(15) $\tan (-\frac{5}{3}\pi)$

2. 解き方の手順

それぞれの角度について、単位円を用いて三角関数の値を求めます。必要に応じて、角度を $2\pi$ の整数倍だけ足したり引いたりして、扱いやすい範囲の角度に変換します。

(7) $\sin \frac{4}{3}\pi$: $\frac{4}{3}\pi$ は第3象限の角です。基準となる角は $\frac{\pi}{3}$ であり、$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であることから、$\sin \frac{4}{3}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

(8) $\cos \frac{11}{6}\pi$: $\frac{11}{6}\pi$ は第4象限の角です。基準となる角は $\frac{\pi}{6}$ であり、$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であることから、$\cos \frac{11}{6}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(9) $\tan \frac{5}{4}\pi$: $\frac{5}{4}\pi$ は第3象限の角です。基準となる角は $\frac{\pi}{4}$ であり、$\tan \frac{\pi}{4} = 1$ であることから、$\tan \frac{5}{4}\pi = 1$.

(10) $\sin (-\frac{\pi}{2})$: $-\frac{\pi}{2}$ は負の向きに90度の角です。単位円上で対応する点は $(0, -1)$ なので、$\sin (-\frac{\pi}{2}) = -1$.

(11) $\cos (-\frac{\pi}{4})$: $-\frac{\pi}{4}$ は第4象限の角です。基準となる角は $\frac{\pi}{4}$ であり、$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であることから、$\cos (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

(12) $\tan (-\frac{\pi}{6})$: $-\frac{\pi}{6}$ は第4象限の角です。基準となる角は $\frac{\pi}{6}$ であり、$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ であることから、$\tan (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

(13) $\sin (-\frac{11}{4}\pi)$: $-\frac{11}{4}\pi = -2\pi - \frac{3}{4}\pi$ なので、$\sin (-\frac{11}{4}\pi) = \sin (-\frac{3}{4}\pi)$ となります。$-\frac{3}{4}\pi$ は第3象限の角です。基準となる角は $\frac{\pi}{4}$ であり、$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であることから、$\sin (-\frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(14) $\cos (-\frac{7}{3}\pi)$: $-\frac{7}{3}\pi = -2\pi - \frac{\pi}{3}$ なので、$\cos (-\frac{7}{3}\pi) = \cos (-\frac{\pi}{3})$ となります。$-\frac{\pi}{3}$ は第4象限の角です。基準となる角は $\frac{\pi}{3}$ であり、$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ であることから、$\cos (-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

(15) $\tan (-\frac{5}{3}\pi)$: $-\frac{5}{3}\pi = -2\pi + \frac{\pi}{3}$ なので、$\tan (-\frac{5}{3}\pi) = \tan (\frac{\pi}{3})$ となります。$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

(7) $\sin \frac{4}{3}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(8) $\cos \frac{11}{6}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(9) $\tan \frac{5}{4}\pi = 1$

(10) $\sin (-\frac{\pi}{2}) = -1$

(11) $\cos (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(12) $\tan (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(13) $\sin (-\frac{11}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

(14) $\cos (-\frac{7}{3}\pi) = \frac{1}{2}$

(15) $\tan (-\frac{5}{3}\pi) = \sqrt{3}$