関数 $f(x) = 5\sin(\pi x + 1)$ の導関数 $\frac{df(x)}{dx}$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 5\sin(\pi x + 1)$ の導関数 $\frac{df(x)}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を用いる。

$f(x) = 5\sin(\pi x + 1)$ について、

外側の関数を $g(u) = 5\sin(u)$ とし、内側の関数を $u(x) = \pi x + 1$ とおく。

すると、 $f(x) = g(u(x))$ と表せる。

合成関数の微分法より、

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{dg}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となる。

まず、$g(u) = 5\sin(u)$ の微分を計算する。

$\frac{dg}{du} = 5\cos(u)$

次に、$u(x) = \pi x + 1$ の微分を計算する。

$\frac{du}{dx} = \pi$

したがって、

$\frac{df(x)}{dx} = 5\cos(u) \cdot \pi = 5\pi\cos(\pi x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{df(x)}{dx} = 5\pi\cos(\pi x + 1)$