関数 $f(x) = x^2$ について、$f'(a)$ を定義に従って求め、グラフ上の点 $(-3, 9)$ における接線の傾きを求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2$ について、$f'(a)$ を定義に従って求め、グラフ上の点 $(-3, 9)$ における接線の傾きを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f'(a)$ を定義に従って求める。導関数の定義は次の通りである。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

$f(x) = x^2$ なので、$f(a) = a^2$ および $f(a+h) = (a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$ となる。これらを定義に代入する。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{(a^2 + 2ah + h^2) - a^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2ah + h^2}{h}$

$f'(a) = \lim_{h \to 0} (2a + h)$

$h \to 0$ の極限を取ると、$f'(a) = 2a$ となる。

次に、グラフ上の点 $(-3, 9)$ における接線の傾きを求める。これは $x = -3$ における導関数の値を求めることに相当する。

$f'(-3) = 2(-3) = -6$ となる。

3. 最終的な答え

$f'(a) = 2a$

接線の傾き: $-6$