$\int \sin 4\theta d\theta$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \sin 4\theta d\theta$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$\sin 4\theta$ を積分するために、置換積分を利用します。

$u = 4\theta$ と置くと、$du = 4 d\theta$ となります。したがって、$d\theta = \frac{1}{4} du$ となります。

積分は次のようになります。

$\int \sin 4\theta d\theta = \int \sin u \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int \sin u du$

$\sin u$ の積分は $-\cos u$ なので、

$\frac{1}{4} \int \sin u du = \frac{1}{4} (-\cos u) + C = -\frac{1}{4} \cos u + C$

最後に、$u = 4\theta$ を代入すると、

$-\frac{1}{4} \cos u + C = -\frac{1}{4} \cos 4\theta + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{4} \cos 4\theta + C$