$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。 (1) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (3) $\tan \theta = -\sqrt{3}$ (4) $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (5) $2\cos^2 \theta + \sin \theta - 2 = 0$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。

(1) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) $\tan \theta = -\sqrt{3}$

(4) $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

(5) $2\cos^2 \theta + \sin \theta - 2 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

正弦の値が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる角度 $\theta$ を探します。

単位円を考えると、$\theta = \frac{\pi}{4}$ と $\theta = \frac{3\pi}{4}$ が該当します。

(2) $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

余弦の値が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる角度 $\theta$ を探します。

単位円を考えると、$\theta = \frac{\pi}{4}$ と $\theta = \frac{7\pi}{4}$ が該当します。

(3) $\tan \theta = -\sqrt{3}$

正接の値が $-\sqrt{3}$ となる角度 $\theta$ を探します。

単位円を考えると、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ と $\theta = \frac{5\pi}{3}$ が該当します。

(4) $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

正接の値が $\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる角度 $\theta$ を探します。

単位円を考えると、$\theta = \frac{\pi}{6}$ と $\theta = \frac{7\pi}{6}$ が該当します。

(5) $2\cos^2 \theta + \sin \theta - 2 = 0$

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ を用いて、$\sin \theta$ のみの式に変換します。

$2(1 - \sin^2 \theta) + \sin \theta - 2 = 0$

$2 - 2\sin^2 \theta + \sin \theta - 2 = 0$

$-2\sin^2 \theta + \sin \theta = 0$

$\sin \theta (1 - 2\sin \theta) = 0$

$\sin \theta = 0$ または $\sin \theta = \frac{1}{2}$

$\sin \theta = 0$ のとき、$\theta = 0, \pi$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(3) $\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(4) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$

(5) $\theta = 0, \pi, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$