$y = -(x^2 - 4x) + 1$ $y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1$ $y = -(x - 2)^2 + 4 + 1$ $y = -(x - 2)^2 + 5$ よって、頂点の座標は $(2, 5)$ である。

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1. 問題の内容

(11) $0 \le x \le 3$ における2次関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ の最小値を求めよ。

(12) 2次関数 $y = x^2 + 6x + 5a - 2$ の最小値が4であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(11) の解き方**

1. 2次関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ を平方完成する。

$y = -(x^2 - 4x) + 1$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1$

$y = -(x - 2)^2 + 4 + 1$

$y = -(x - 2)^2 + 5$

よって、頂点の座標は $(2, 5)$ である。

2. 定義域 $0 \le x \le 3$ 内におけるグラフの形状を考える。

上に凸な放物線であり、頂点の $x$ 座標 $x=2$ は定義域に含まれる。

3. 定義域の端点における $y$ の値を計算する。

$x = 0$ のとき、$y = -0^2 + 4(0) + 1 = 1$

$x = 3$ のとき、$y = -3^2 + 4(3) + 1 = -9 + 12 + 1 = 4$

4. 最小値を決定する。

$x=0$ のとき、$y=1$ であり、$x=3$ のとき、$y=4$ である。よって、最小値は $1$ である。

**(12) の解き方**

1. 2次関数 $y = x^2 + 6x + 5a - 2$ を平方完成する。

$y = (x^2 + 6x) + 5a - 2$

$y = (x^2 + 6x + 9 - 9) + 5a - 2$

$y = (x + 3)^2 - 9 + 5a - 2$

$y = (x + 3)^2 + 5a - 11$

よって、頂点の座標は $(-3, 5a - 11)$ である。

2. 最小値の条件から $a$ についての方程式を立てる。

問題文より最小値は4なので、

$5a - 11 = 4$

3. $a$ についての方程式を解く。

$5a = 15$

$a = 3$

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3. 最終的な答え

(11) 最小値：$1$

(12) $a = 3$