2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4x + 7$ が与えられています。 (i) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求めます。 (ii) $f(0) = f(a)$ であるとき、正の定数 $a$ の値を求めます。 (iii) $a$ は (ii) で求めた値より大きいとします。$0 \le x \le a$ において、関数 $f(x)$ の最大値が $10$ であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4x + 7$ が与えられています。

(i) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求めます。

(ii) $f(0) = f(a)$ であるとき、正の定数 $a$ の値を求めます。

(iii) $a$ は (ii) で求めた値より大きいとします。$0 \le x \le a$ において、関数 $f(x)$ の最大値が $10$ であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(i) 頂点を求めるために、まず $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = 2x^2 - 4x + 7 = 2(x^2 - 2x) + 7 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 7 = 2(x-1)^2 - 2 + 7 = 2(x-1)^2 + 5$

よって、頂点の座標は $(1, 5)$ です。

(ii) $f(0) = f(a)$ より、$2(0)^2 - 4(0) + 7 = 2a^2 - 4a + 7$

$7 = 2a^2 - 4a + 7$

$2a^2 - 4a = 0$

$2a(a - 2) = 0$

$a = 0, 2$

$a$ は正の定数なので、$a = 2$ です。

(iii) $a > 2$ であり、$0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最大値が $10$ です。

$f(x) = 2(x-1)^2 + 5$ は、$x=1$ で最小値 $5$ をとります。区間 $0 \le x \le a$ において、$x=0$ または $x=a$ で最大値をとります。

$f(0) = 7$ であり、$a > 2$ なので、$f(a) = 10$ となる $a$ を求めます。

$f(a) = 2a^2 - 4a + 7 = 10$

$2a^2 - 4a - 3 = 0$

$a = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$

$a > 2$ より、$a = \frac{2 + \sqrt{10}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{10}}{2}$

ここで、$\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$ より、$3 < \sqrt{10} < 4$ なので、$\frac{3}{2} < \frac{\sqrt{10}}{2} < 2$

$1 + \frac{3}{2} < 1 + \frac{\sqrt{10}}{2} < 1 + 2$

$2.5 < a < 3$

したがって、$a = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

(i) 頂点の座標：$(1, 5)$

(ii) $a = 2$

(iii) $a = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$