関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$ この関数が $x=0$ において微分可能かどうかを調べる方法を尋ねています。具体的には、微分係数の存在をどのように調べるか、また、左右からの極限の一致をどのように調べるかについて問われています。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$

この関数が $x=0$ において微分可能かどうかを調べる方法を尋ねています。具体的には、微分係数の存在をどのように調べるか、また、左右からの極限の一致をどのように調べるかについて問われています。

2. 解き方の手順

(1) 微分係数の存在の確認：

$x=0$ における微分可能性を調べるためには、定義に従って微分係数を計算します。微分係数は、以下の極限が存在するかどうかで決まります。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$

この問題の場合、$f(0) = 0$ なので、

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(\frac{1}{h})}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h})$

ここで、$|\sin(\frac{1}{h})| \le 1$ であるため、

$-|h| \le h \sin(\frac{1}{h}) \le |h|$

$\lim_{h \to 0} -|h| = 0$ かつ $\lim_{h \to 0} |h| = 0$ なので、挟み撃ちの原理より、

$\lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h}) = 0$

したがって、$f'(0) = 0$ となり、$x=0$ における微分係数が存在します。

(2) 左右からの極限の一致の確認：

関数 $f(x)$ は、$x \neq 0$ において $x^2 \sin(\frac{1}{x})$ で定義され、$x=0$ において $0$ で定義されています。

$x \to 0$ における $f(x)$ の極限を考えると、

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x^2 \sin(\frac{1}{x})$

先程と同様に、$-x^2 \le x^2 \sin(\frac{1}{x}) \le x^2$ であり、$\lim_{x \to 0} -x^2 = 0$ かつ $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ なので、挟み撃ちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x^2 \sin(\frac{1}{x}) = 0$

これは、$f(0) = 0$ と一致するため、$f(x)$ は $x=0$ で連続です。

左右からの極限は、それぞれ $\lim_{x \to 0^+} x^2 \sin(\frac{1}{x})$ と $\lim_{x \to 0^-} x^2 \sin(\frac{1}{x})$ ですが、どちらも 0 に収束し、一致しています。

微分可能性については、$f'(0) = 0$ であり、微分係数が存在するので、$x=0$ で微分可能です。

3. 最終的な答え

- 微分係数の存在は、微分係数の定義 $\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ が存在するかどうかを調べます。この問題では、計算の結果 $f'(0) = 0$ となり、微分係数が存在します。

- 左右からの極限の一致は、$\lim_{x \to 0^+} f(x)$ と $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ が存在し、かつそれらが $f(0)$ と一致するかどうかを調べます。この問題では、$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 0$ となり、左右からの極限は一致しています。

これらのことから、この関数は $x=0$ で微分可能です。