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問題は、不等式 $-1 \le \sin\frac{1}{h} \le 1$ に $h$ をかける際に、$h$ の符号によって場合分けが必要な理由を問うものです。特に、$h < 0$ のときに $h \le h\sin\frac{1}{h} \le -h$ となるのはなぜか、$-h \le h\sin\frac{1}{h} \le h$ とならないのかを問うています。

解析学不等式三角関数極限場合分け
2025/4/7

1. 問題の内容

問題は、不等式 −1≤sin⁡1h≤1-1 \le \sin\frac{1}{h} \le 1 に hh をかける際に、hh の符号によって場合分けが必要な理由を問うものです。特に、h<0h < 0 のときに h≤hsin⁡1h≤−hh \le h\sin\frac{1}{h} \le -h となるのはなぜか、−h≤hsin⁡1h≤h-h \le h\sin\frac{1}{h} \le h とならないのかを問うています。

2. 解き方の手順

* **不等式の性質:** 不等式に負の数をかけると、不等号の向きが反転します。
* **h > 0 の場合:** hh が正の数の場合、−1≤sin⁡1h≤1-1 \le \sin\frac{1}{h} \le 1 の各辺に hh をかけても、不等号の向きは変わりません。したがって、−h≤hsin⁡1h≤h-h \le h\sin\frac{1}{h} \le h となります。
* **h < 0 の場合:** hh が負の数の場合、−1≤sin⁡1h≤1-1 \le \sin\frac{1}{h} \le 1 の各辺に hh をかけると、不等号の向きが反転します。
−1≤sin⁡1h≤1-1 \le \sin\frac{1}{h} \le 1 に hh をかけると、
h≥hsin⁡1h≥−hh \ge h\sin\frac{1}{h} \ge -h となります。
これを書き換えると、−h≤hsin⁡1h≤h -h \le h\sin\frac{1}{h} \le h とはならずに、h≤hsin⁡1h≤−h h \le h\sin\frac{1}{h} \le -h となります。

3. 最終的な答え

h<0h < 0 の場合、不等式に負の数 hh をかけると不等号の向きが反転するため、−h≤hsin⁡1h≤h-h \le h\sin\frac{1}{h} \le h ではなく、h≤hsin⁡1h≤−hh \le h\sin\frac{1}{h} \le -h となります。

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