画像に書かれている内容は、$-h \le h\sin(\frac{1}{h}) \le h$ かつ $h \le h\sin(\frac{1}{h}) \le -h$ であるとき、なぜ $-|h| \le h\sin(\frac{1}{h}) \le |h|$ となるのか、という質問です。

1. 問題の内容

画像に書かれている内容は、$-h \le h\sin(\frac{1}{h}) \le h$ かつ $h \le h\sin(\frac{1}{h}) \le -h$ であるとき、なぜ $-|h| \le h\sin(\frac{1}{h}) \le |h|$ となるのか、という質問です。

2. 解き方の手順

$\sin x$ の取りうる値の範囲は $-1 \le \sin x \le 1$ です。したがって、$-1 \le \sin(\frac{1}{h}) \le 1$ が成り立ちます。

$h$ が正の場合、$h > 0$ なので、不等式に $h$ をかけると不等号の向きは変わらず、

$-h \le h\sin(\frac{1}{h}) \le h$

となります。

$h$ が負の場合、$h < 0$ なので、不等式に $h$ をかけると不等号の向きが反転し、

$-h \ge h\sin(\frac{1}{h}) \ge h$

となります。これは、$h \le h\sin(\frac{1}{h}) \le -h$ と書き換えられます。

絶対値 $|h|$ は、

$h \ge 0$ のとき $|h| = h$

$h < 0$ のとき $|h| = -h$

と定義されます。

したがって、

$h \ge 0$ のとき、$-|h| = -h \le h\sin(\frac{1}{h}) \le h = |h|$ が成り立ち、

$h < 0$ のとき、$-|h| = h \le h\sin(\frac{1}{h}) \le -h = |h|$ が成り立ちます。

以上のことから、どのような $h$ に対しても $-|h| \le h\sin(\frac{1}{h}) \le |h|$ が成り立つことがわかります。

3. 最終的な答え

$-1 \le \sin(\frac{1}{h}) \le 1$であることと、絶対値の定義から $-|h| \le h\sin(\frac{1}{h}) \le |h|$ が導かれます。