関数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ について、以下の各点における微分係数 $f'(x)$ を求めます。 (1) $x=0$ (2) $x=1$ (3) $x=-1$

## 問題15

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ について、以下の各点における微分係数 $f'(x)$ を求めます。

(1) $x=0$

(2) $x=1$

(3) $x=-1$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分して導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) = 6x^2 - 6x + 4$

次に、それぞれの $x$ の値に対して $f'(x)$ を計算します。

(1) $x = 0$ のとき:

$f'(0) = 6(0)^2 - 6(0) + 4 = 0 - 0 + 4 = 4$

(2) $x = 1$ のとき:

$f'(1) = 6(1)^2 - 6(1) + 4 = 6 - 6 + 4 = 4$

(3) $x = -1$ のとき:

$f'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) + 4 = 6(1) + 6 + 4 = 6 + 6 + 4 = 16$

3. 最終的な答え

(1) $f'(0) = 4$

(2) $f'(1) = 4$

(3) $f'(-1) = 16$

## 問題16

1. 問題の内容

次の関数のグラフ上の点Aにおける接線の方程式を求めます。

(1) $y=x^2+2x+3, A(0,3)$

(2) $y=-x^2+2x+1, A(2,1)$

2. 解き方の手順

接線の方程式は、$y-y_1 = m(x-x_1)$ の形で表されます。ここで、$(x_1, y_1)$ は接点の座標、$m$ は接線の傾きです。接線の傾きは、与えられた関数の導関数を接点のx座標で評価した値です。

(1) $y = x^2 + 2x + 3$, $A(0, 3)$

$y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x + 3) = 2x + 2$

接点 $A(0, 3)$ における傾きは $y'(0) = 2(0) + 2 = 2$

したがって、接線の方程式は $y - 3 = 2(x - 0)$ となり、これを整理すると $y = 2x + 3$

(2) $y = -x^2 + 2x + 1$, $A(2, 1)$

$y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + 2x + 1) = -2x + 2$

接点 $A(2, 1)$ における傾きは $y'(2) = -2(2) + 2 = -4 + 2 = -2$

したがって、接線の方程式は $y - 1 = -2(x - 2)$ となり、これを整理すると $y = -2x + 4 + 1$ つまり $y = -2x + 5$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x + 3$

(2) $y = -2x + 5$