次の2つの関数の増減を調べ、極値を求め、グラフを描く問題です。 (1) $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ (2) $y = -x^3 + 3x^2 + 2$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の2つの関数の増減を調べ、極値を求め、グラフを描く問題です。

(1) $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$

(2) $y = -x^3 + 3x^2 + 2$

2. 解き方の手順

**(1) $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$**

* **ステップ1: 導関数を求める**

$y' = 3x^2 - 12x + 9$

* **ステップ2: 導関数が0になるxを求める**

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

$x = 1, 3$

* **ステップ3: 増減表を作成する**

| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |

| --- | ----- | --- | ----- | --- | ----- |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

* **ステップ4: 極値を求める**

$x = 1$のとき、$y = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 1 = 1 - 6 + 9 - 1 = 3$ (極大値)

$x = 3$のとき、$y = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) - 1 = 27 - 54 + 27 - 1 = -1$ (極小値)

* **ステップ5: グラフを描く**

極大値(1, 3)、極小値(3, -1)をとり、xが十分小さいときyは負の値、xが十分大きいときyは正の値となる３次関数を描画します。

**(2) $y = -x^3 + 3x^2 + 2$**

* **ステップ1: 導関数を求める**

$y' = -3x^2 + 6x$

* **ステップ2: 導関数が0になるxを求める**

$-3x^2 + 6x = 0$

$-3x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

* **ステップ3: 増減表を作成する**

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| --- | ----- | --- | ----- | --- | ----- |

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | ↓ | 極小 | ↑ | 極大 | ↓ |

* **ステップ4: 極値を求める**

$x = 0$のとき、$y = -(0)^3 + 3(0)^2 + 2 = 2$ (極小値)

$x = 2$のとき、$y = -(2)^3 + 3(2)^2 + 2 = -8 + 12 + 2 = 6$ (極大値)

* **ステップ5: グラフを描く**

極小値(0, 2)、極大値(2, 6)をとり、xが十分小さいときyは正の値、xが十分大きいときyは負の値となる３次関数を描画します。

3. 最終的な答え

**(1) $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$**

* 極大値: (1, 3)

* 極小値: (3, -1)

* グラフ: 上記情報を元に3次関数のグラフを描画

**(2) $y = -x^3 + 3x^2 + 2$**

* 極小値: (0, 2)

* 極大値: (2, 6)

* グラフ: 上記情報を元に3次関数のグラフを描画