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関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + 1$ が $x=3$ で極小値をとるとき、定数 $a$ の値を求めよ。また、このときの極値を求めよ。

解析学微分極値最大値最小値関数の増減
2025/4/7
## 問題18

1. 問題の内容

関数 f(x)=x3−6x2+ax+1f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + 1 が x=3x=3 で極小値をとるとき、定数 aa の値を求めよ。また、このときの極値を求めよ。

2. 解き方の手順

* まず、f(x)f(x) を微分して、f′(x)f'(x) を求める。
f′(x)=3x2−12x+af'(x) = 3x^2 - 12x + a
* x=3x=3 で極小値をとるので、f′(3)=0f'(3) = 0 となる。
f′(3)=3(3)2−12(3)+a=27−36+a=a−9=0f'(3) = 3(3)^2 - 12(3) + a = 27 - 36 + a = a - 9 = 0
よって、a=9a = 9
* a=9a=9 を f′(x)f'(x) に代入する。
f′(x)=3x2−12x+9=3(x2−4x+3)=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)
* f′(x)=0f'(x)=0 となる xx を求める。
3(x−1)(x−3)=03(x-1)(x-3) = 0 より、x=1,3x = 1, 3
* f(x)f(x) の増減表を作成する。
| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |
| :--- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |
* x=1x=1 で極大値、x=3x=3 で極小値をとることがわかる。
f(1)=13−6(1)2+9(1)+1=1−6+9+1=5f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 = 1 - 6 + 9 + 1 = 5
f(3)=33−6(3)2+9(3)+1=27−54+27+1=1f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1
よって、極大値は 5、極小値は 1。

3. 最終的な答え

a=9a=9
極大値：5
極小値：1
## 問題19 (1)

1. 問題の内容

関数 y=x3−3x+5y = x^3 - 3x + 5 の −2≤x≤2-2 \le x \le 2 における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

* まず、yy を xx で微分して、y′y' を求める。
y′=3x2−3=3(x2−1)=3(x−1)(x+1)y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)
* y′=0y' = 0 となる xx を求める。
3(x−1)(x+1)=03(x-1)(x+1) = 0 より、x=−1,1x = -1, 1
* 与えられた範囲 −2≤x≤2-2 \le x \le 2 での yy の増減表を作成する。
| x | -2 | ... | -1 | ... | 1 | ... | 2 |
| :--- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| y' | | + | 0 | - | 0 | + | |
| y | | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ | |
* yy の値を計算する。
x=−2x = -2 のとき、y=(−2)3−3(−2)+5=−8+6+5=3y = (-2)^3 - 3(-2) + 5 = -8 + 6 + 5 = 3
x=−1x = -1 のとき、y=(−1)3−3(−1)+5=−1+3+5=7y = (-1)^3 - 3(-1) + 5 = -1 + 3 + 5 = 7 （極大値）
x=1x = 1 のとき、y=(1)3−3(1)+5=1−3+5=3y = (1)^3 - 3(1) + 5 = 1 - 3 + 5 = 3 （極小値）
x=2x = 2 のとき、y=(2)3−3(2)+5=8−6+5=7y = (2)^3 - 3(2) + 5 = 8 - 6 + 5 = 7
* 増減表と計算結果から、最大値と最小値を求める。

3. 最終的な答え

最大値：7 （x=−1,2x=-1, 2 のとき）
最小値：3 （x=−2,1x=-2, 1 のとき）
## 問題19 (2)

1. 問題の内容

関数 y=2x3−6x+1y = 2x^3 - 6x + 1 の −3≤x≤2-\sqrt{3} \le x \le 2 における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

* まず、yy を xx で微分して、y′y' を求める。
y′=6x2−6=6(x2−1)=6(x−1)(x+1)y' = 6x^2 - 6 = 6(x^2 - 1) = 6(x-1)(x+1)
* y′=0y' = 0 となる xx を求める。
6(x−1)(x+1)=06(x-1)(x+1) = 0 より、x=−1,1x = -1, 1
* 与えられた範囲 −3≤x≤2-\sqrt{3} \le x \le 2 での yy の増減表を作成する。
| x | -√3 | ... | -1 | ... | 1 | ... | 2 |
| :--- | :---: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| y' | | + | 0 | - | 0 | + | |
| y | | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ | |
* yy の値を計算する。
x=−3x = -\sqrt{3} のとき、y=2(−3)3−6(−3)+1=2(−33)+63+1=−63+63+1=1y = 2(-\sqrt{3})^3 - 6(-\sqrt{3}) + 1 = 2(-3\sqrt{3}) + 6\sqrt{3} + 1 = -6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + 1 = 1
x=−1x = -1 のとき、y=2(−1)3−6(−1)+1=−2+6+1=5y = 2(-1)^3 - 6(-1) + 1 = -2 + 6 + 1 = 5 （極大値）
x=1x = 1 のとき、y=2(1)3−6(1)+1=2−6+1=−3y = 2(1)^3 - 6(1) + 1 = 2 - 6 + 1 = -3 （極小値）
x=2x = 2 のとき、y=2(2)3−6(2)+1=16−12+1=5y = 2(2)^3 - 6(2) + 1 = 16 - 12 + 1 = 5
* 増減表と計算結果から、最大値と最小値を求める。

3. 最終的な答え

最大値：5 （x=−1,2x=-1, 2 のとき）
最小値：-3 （x=1x=1 のとき）

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