与えられた関数の指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = x^3 - 3x + 5$ , $-2 \le x \le 2$ (2) $y = 2x^3 - 6x + 1$ , $-\sqrt{3} \le x \le 2$

1. 問題の内容

与えられた関数の指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = x^3 - 3x + 5$ , $-2 \le x \le 2$

(2) $y = 2x^3 - 6x + 1$ , $-\sqrt{3} \le x \le 2$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 - 3x + 5$ , $-2 \le x \le 2$

まず、導関数を求めます。

$y' = 3x^2 - 3$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 3 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$x = 1$ と $x = -1$ はどちらも区間 $-2 \le x \le 2$ に含まれています。

区間の端点と極値における $y$ の値を計算します。

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^3 - 3(-2) + 5 = -8 + 6 + 5 = 3$

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^3 - 3(-1) + 5 = -1 + 3 + 5 = 7$

$x = 1$ のとき、$y = (1)^3 - 3(1) + 5 = 1 - 3 + 5 = 3$

$x = 2$ のとき、$y = (2)^3 - 3(2) + 5 = 8 - 6 + 5 = 7$

したがって、最大値は $7$ (x = -2と x = 2)、最小値は $3$ (x = -1と x = 1)。

(2) $y = 2x^3 - 6x + 1$ , $-\sqrt{3} \le x \le 2$

まず、導関数を求めます。

$y' = 6x^2 - 6$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x^2 - 6 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$x = 1$ と $x = -1$ はどちらも区間 $-\sqrt{3} \le x \le 2$ に含まれています。

区間の端点と極値における $y$ の値を計算します。

$x = -\sqrt{3}$ のとき、$y = 2(-\sqrt{3})^3 - 6(-\sqrt{3}) + 1 = 2(-3\sqrt{3}) + 6\sqrt{3} + 1 = -6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + 1 = 1$

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1)^3 - 6(-1) + 1 = -2 + 6 + 1 = 5$

$x = 1$ のとき、$y = 2(1)^3 - 6(1) + 1 = 2 - 6 + 1 = -3$

$x = 2$ のとき、$y = 2(2)^3 - 6(2) + 1 = 16 - 12 + 1 = 5$

したがって、最大値は $5$ (x = -1と x = 2)、最小値は $-3$ (x = 1)。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 7, 最小値: 3

(2) 最大値: 5, 最小値: -3