はい、承知いたしました。問題文にある20番の方程式の異なる実数解の個数を調べる問題と、21番の不定積分を求める問題を解きます。

はい、承知いたしました。問題文にある20番の方程式の異なる実数解の個数を調べる問題と、21番の不定積分を求める問題を解きます。

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0. 方程式の実数解の個数を調べる**

(1) $x^3 + 6x^2 - 5 = 0$

(2) $x^3 - 3x + 4 = 0$

**解き方の手順**

3次方程式の実数解の個数を調べるには、微分を用いて関数の増減を調べ、グラフを描いてx軸との交点の数を数える方法が一般的です。

(1) $f(x) = x^3 + 6x^2 - 5$ と置きます。

$f'(x) = 3x^2 + 12x = 3x(x+4)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, -4$ のときです。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -4 | ... | 0 | ... |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$f(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 - 5 = -64 + 96 - 5 = 27$

$f(0) = 0^3 + 6(0)^2 - 5 = -5$

したがって、$x = -4$ で極大値 $27$、$x = 0$ で極小値 $-5$ をとります。

$f(x)$は、$x \to -\infty$ で $-\infty$、$x \to \infty$ で $\infty$ に発散します。

極大値が正、極小値が負なので、$f(x) = 0$ は異なる3つの実数解を持ちます。

(2) $g(x) = x^3 - 3x + 4$ と置きます。

$g'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = 1, -1$ のときです。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| g'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| g(x) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$g(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6$

$g(1) = (1)^3 - 3(1) + 4 = 1 - 3 + 4 = 2$

したがって、$x = -1$ で極大値 $6$、$x = 1$ で極小値 $2$ をとります。

$g(x)$は、$x \to -\infty$ で $-\infty$、$x \to \infty$ で $\infty$ に発散します。

極大値も極小値も正なので、$g(x) = 0$ は異なる1つの実数解を持ちます。

**最終的な答え**

(1) 異なる実数解の個数は3個

(2) 異なる実数解の個数は1個

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1. 不定積分を求める**

(1) $\int 2 dx$

(2) $\int 4x dx$

(3) $\int (-5x) dx$

(4) $\int 2x^2 dx$

(5) $\int 12x^2 dx$

(6) $\int (-x^2) dx$

**解き方の手順**

不定積分の基本公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$) を利用します。定数項は積分定数 $C$ で表します。

(1) $\int 2 dx = 2x + C$

(2) $\int 4x dx = 4 \int x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^2 + C$

(3) $\int (-5x) dx = -5 \int x dx = -5 \cdot \frac{x^2}{2} + C = -\frac{5}{2}x^2 + C$

(4) $\int 2x^2 dx = 2 \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{2}{3}x^3 + C$

(5) $\int 12x^2 dx = 12 \int x^2 dx = 12 \cdot \frac{x^3}{3} + C = 4x^3 + C$

(6) $\int (-x^2) dx = - \int x^2 dx = - \frac{x^3}{3} + C = -\frac{1}{3}x^3 + C$

**最終的な答え**

(1) $2x + C$

(2) $2x^2 + C$

(3) $-\frac{5}{2}x^2 + C$

(4) $\frac{2}{3}x^3 + C$

(5) $4x^3 + C$

(6) $-\frac{1}{3}x^3 + C$