次の2つの3次方程式の実数解の個数を求めよ。 (1) $x^3 + 6x^2 - 5 = 0$ (2) $x^3 - 3x + 4 = 0$

1. 問題の内容

次の2つの3次方程式の実数解の個数を求めよ。

(1) $x^3 + 6x^2 - 5 = 0$

(2) $x^3 - 3x + 4 = 0$

2. 解き方の手順

3次方程式 $f(x) = 0$ の実数解の個数は、$y = f(x)$ のグラフを描き、x軸との交点の個数を調べることでわかる。グラフの概形を描くには、$f'(x)$ を計算し、増減表を作ればよい。

(1) $f(x) = x^3 + 6x^2 - 5$

$f'(x) = 3x^2 + 12x = 3x(x+4)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, -4$

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -4 | ... | 0 | ... |

| ----- | ---- | ---- | --- | ---- | --- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$f(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 - 5 = -64 + 96 - 5 = 27$

$f(0) = 0^3 + 6(0)^2 - 5 = -5$

$f(-4) = 27 > 0$, $f(0) = -5 < 0$ より、グラフは x軸と3点で交わる。

したがって、実数解の個数は3個。

(2) $g(x) = x^3 - 3x + 4$

$g'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = 1, -1$

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

| ----- | ---- | ---- | --- | ---- | --- |

| g'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| g(x) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$g(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6$

$g(1) = (1)^3 - 3(1) + 4 = 1 - 3 + 4 = 2$

$g(-1) = 6 > 0$, $g(1) = 2 > 0$

また、$x \rightarrow -\infty$ のとき $g(x) \rightarrow -\infty$ であるので、x軸との交点は1つ。

したがって、実数解の個数は1個。

3. 最終的な答え

(1) 実数解の個数：3個

(2) 実数解の個数：1個