与えられた8つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int 2 dx$ (2) $\int 4x dx$ (3) $\int (-5x) dx$ (4) $\int 2x^2 dx$ (5) $\int 12x^2 dx$ (6) $\int (-x^2) dx$ (7) $\int (3t^2 + 4t - 1) dt$ (8) $\int (-2u^2 + u) du$

1. 問題の内容

与えられた8つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int 2 dx$

(2) $\int 4x dx$

(3) $\int (-5x) dx$

(4) $\int 2x^2 dx$

(5) $\int 12x^2 dx$

(6) $\int (-x^2) dx$

(7) $\int (3t^2 + 4t - 1) dt$

(8) $\int (-2u^2 + u) du$

2. 解き方の手順

不定積分の基本公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を利用します (ただし $n \neq -1$)。また、定数倍の積分は $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$ となります。

(1) $\int 2 dx = 2 \int dx = 2x + C$

(2) $\int 4x dx = 4 \int x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^2 + C$

(3) $\int (-5x) dx = -5 \int x dx = -5 \cdot \frac{x^2}{2} + C = -\frac{5}{2}x^2 + C$

(4) $\int 2x^2 dx = 2 \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{2}{3}x^3 + C$

(5) $\int 12x^2 dx = 12 \int x^2 dx = 12 \cdot \frac{x^3}{3} + C = 4x^3 + C$

(6) $\int (-x^2) dx = - \int x^2 dx = - \frac{x^3}{3} + C$

(7) $\int (3t^2 + 4t - 1) dt = 3 \int t^2 dt + 4 \int t dt - \int dt = 3 \cdot \frac{t^3}{3} + 4 \cdot \frac{t^2}{2} - t + C = t^3 + 2t^2 - t + C$

(8) $\int (-2u^2 + u) du = -2 \int u^2 du + \int u du = -2 \cdot \frac{u^3}{3} + \frac{u^2}{2} + C = -\frac{2}{3}u^3 + \frac{1}{2}u^2 + C$

3. 最終的な答え

(1) $2x + C$

(2) $2x^2 + C$

(3) $-\frac{5}{2}x^2 + C$

(4) $\frac{2}{3}x^3 + C$

(5) $4x^3 + C$

(6) $-\frac{1}{3}x^3 + C$

(7) $t^3 + 2t^2 - t + C$

(8) $-\frac{2}{3}u^3 + \frac{1}{2}u^2 + C$