点Pから円に引いた接線と割線に関する問題です。線分PAの長さ、PBの長さ、PCの長さ、CDの長さが与えられており、PCの長さを$x$とおいて、$x$の値を求めます。

1. 問題の内容

点Pから円に引いた接線と割線に関する問題です。線分PAの長さ、PBの長さ、PCの長さ、CDの長さが与えられており、PCの長さを$x$とおいて、$x$の値を求めます。

2. 解き方の手順

円の外部の点から円に引いた接線と割線に関する定理（方べきの定理）を使います。点Pから円に接線を引いたときの接点をA、点Pから円に割線を引いたときの交点をC,Dとすると、以下の式が成り立ちます。

$PA^2 = PC \times PD$

問題より、$PA = 6$ cm, $PB = 4$ cm, $CD = 7$ cm, $PC = x$ cm です。

したがって、$PD = PC + CD = x + 7$ cm となります。

方べきの定理にこれらの値を代入すると、

$6^2 = x \times (x + 7)$

$36 = x^2 + 7x$

$x^2 + 7x - 36 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解を試みると、

$(x - 4)(x + 9) = x^2 + 5x - 36$

$(x + 12)(x-3) = x^2 + 9x - 36$

$(x - 3)(x + 12) = x^2 + 9x - 36 \neq x^2 + 7x - 36$

因数分解では解けなさそうなので、解の公式を使用します。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この式に$a = 1, b = 7, c = -36$を代入すると、

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \times 1 \times (-36)}}{2 \times 1}$

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 144}}{2}$

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{193}}{2}$

$x$は線分の長さなので、$x > 0$である必要があります。

$\sqrt{193} \approx 13.9$ なので、

$x = \frac{-7 + \sqrt{193}}{2}$のみが解となります。

$x = \frac{-7 + \sqrt{193}}{2} \approx \frac{-7 + 13.9}{2} \approx \frac{6.9}{2} \approx 3.45$

問題文は「次の図で」とあるので、図を見て、因数分解または整数解になるはずです。

見間違えがある可能性を考慮して、再度確認すると、$PA=6, PB=4, CD=7, PC=x$でした。

割線定理を使うと、PA^2 = PC * PD より、36 = x(x+7) という式が導かれます。

x^2 + 7x - 36 = 0 を満たす正の数を求めれば良いです。

xを整数と仮定すると、PD = x + 7も整数になるはずです。

例えば、x = 1なら、PD = 8となり、1 * 8 = 8 !=

3

6. x = 2なら、PD = 9となり、2 * 9 = 18 !=

3

6. x = 3なら、PD = 10となり、3 * 10 = 30 !=

3

6. x = 4なら、PD = 11となり、4 * 11 = 44 !=

3

6.

問題文がPB = 4cmとなっている部分に注目すると、BA = 4cmかもしれません。

方べきの定理から、$PA^2 = PB \times PC$とはならないので、円の割線に関する定理を使うことになります。

$PA^2=PC \times PD$

$6^2 = x(x+7)$

$36 = x^2 + 7x$

$x^2+7x-36 = 0$

解の公式より、$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49+144}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{193}}{2}$ となるので、整数解になり得ません。

考え方を変えて、方べきの定理から、$PA^2=PC \times PD$ は正しいです。

PD = PC + CD ですので、PD = x + 7で正しいです。

したがって、$6^2 = x(x+7) = 36$ となります。

$x^2 + 7x - 36 = 0$

与えられた選択肢が無いので、近似値ではなく正確な値を求めるしかありません。

整数でないなら、問題設定または図に誤りがあるかもしれません。

問題文をよく見ると、x = 3で解ける可能性が見えてきます。

PA = 6, PC = 3の場合、$PA^2 = 36$、PC = 3、PD = 12 だと $3 \times 12 = 36$なので、PA^2=PC * PDが成り立ちます。

PD = PC + CDより、12 = 3 + CD となるので、CD = 9です。

しかしCD=7cmなので矛盾します。

PB =4cmの情報は使わないので、問題文が間違っている可能性があります。

CD = 9cmであれば、PC=3cmが解答になり得ます。

CD=7cm、かつ、PCが整数であるという条件を満たすことはできません。

x=3と仮定すると、$3(3+7)=30 \ne 36$です。

3. 最終的な答え

問題文または図に誤りがあると考えられます。

問題文が正しいと仮定した場合、$x = \frac{-7 + \sqrt{193}}{2}$ cmが解となります。ただし、これは整数解ではありません。

もし問題がPCの長さを整数で答えさせる意図があるのであれば、問題自体に誤りがあると考えられます。

xが整数解を持つと仮定して、x=3を試してみます。