## 問題の回答
### (1) 問題の内容
三角形ABCがあり、, です。辺AB上にとなる点Dをとり、辺AC上にとなる点Eをとります。線分AEの長さを求めます。
### (2) 解き方の手順
1. $\angle AED = \angle ABC$なので、$\triangle ADE$と$\triangle ABC$は相似です。
2. 相似比は$AD:AB = 3:6 = 1:2$となります。
3. $AE:AC = 1:2$なので、$AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5cm$となります。
### (3) 最終的な答え
2. 5
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### (2) 問題の内容
のとき、の大きさを求めます。
### (2) 解き方の手順
1. $l$と$m$は平行なので、錯角は等しいです。$l$と平行な直線を引くと、$x$は$40^{\circ}$と$150^{\circ}$の内角になります。
2. したがって、$x = 150^{\circ} - 40^{\circ} = 110^{\circ}$となります。
### (3) 最終的な答え
110
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### (3) 問題の内容
円錐の展開図において、円錐の底面の半径を求めます。
### (2) 解き方の手順
1. 円錐の展開図において、側面の扇形の弧の長さは、底面の円周の長さに等しいです。
2. 扇形の弧の長さは、$2\pi \times 8 \times \frac{150}{360} = 2\pi \times 8 \times \frac{5}{12} = \frac{20}{3}\pi$です。
3. 底面の円周の長さは、$2\pi r$ (rは底面の半径)です。
4. $2\pi r = \frac{20}{3}\pi$より、$r = \frac{10}{3} cm$となります。
### (3) 最終的な答え
10/3
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### (4) 問題の内容
底面の半径が4cm、高さが3cmの円柱と、底面の半径が4cm、高さが3cmの円錐を合わせた立体の体積を求めます。
### (2) 解き方の手順
1. 円柱の体積は、$\pi r^2 h = \pi \times 4^2 \times 3 = 48\pi cm^3$です。
2. 円錐の体積は、$\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 3 = 16\pi cm^3$です。
3. 全体の体積は、$48\pi + 16\pi = 64\pi cm^3$です。
### (3) 最終的な答え
64π
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### (5) 問題の内容
体積が144cm³の円錐を底面に平行な平面で切ると、底面の円の半径と切り口の円の半径の比は2:1でした。上の部分の円錐の体積を求めます。
### (2) 解き方の手順
1. 半径の比が2:1なので、高さの比も2:1になります。
2. 上の部分の円錐と全体の円錐の相似比は1:2です。
3. 体積比は相似比の3乗なので、1³:2³ = 1:8となります。
4. 上の部分の円錐の体積は、$\frac{1}{8} \times 144 = 18 cm^3$です。
### (3) 最終的な答え
18