A町からB町までの距離を $x$ km、B町からC町までの距離を $y$ kmとする。 (1) $16x + 27y$ の値を求める。 (2) A町からB町までの距離が、B町からC町までの距離の1.8倍であるとき、$x, y$ の値を小数第1位まで求める。

1. 問題の内容

A町からB町までの距離を $x$ km、B町からC町までの距離を $y$ kmとする。

(1) $16x + 27y$ の値を求める。

(2) A町からB町までの距離が、B町からC町までの距離の1.8倍であるとき、$x, y$ の値を小数第1位まで求める。

2. 解き方の手順

問題文より、甲は午前10時にA町を出発し、乙は同じ日の午前10時にA町を出発した。甲は毎時4kmの速さで、乙は毎時5.5kmの速さで出発し、同時にC町に着いた。

つまり、A町からC町までの距離を甲が行く時間と、乙が行く時間は同じである。

A町からC町までの距離は、$x + y$ である。

時間を $t$ とすると、

甲の場合：$x+y = 4t$

乙の場合：$x+y = 5.5t$

ここで、乙はB町で休憩しており、その休憩時間は、

$\frac{x}{4} - \frac{x}{5.5}$

休憩時間は、 $t_休 = \frac{x}{4} - \frac{x}{5.5}$

乙が実際に進んだ時間は、$t - t_休$ となるので、

$x+y = 5.5(t - (\frac{x}{4} - \frac{x}{5.5}))$

$x+y = 5.5(t - \frac{5.5x - 4x}{4*5.5}) = 5.5(t - \frac{1.5x}{22})$

$x+y = 5.5t - \frac{5.5 * 1.5x}{22} = 5.5t - \frac{8.25x}{22} = 5.5t - \frac{3}{8}x$

ここで、$x + y = 4t$ なので、$t = \frac{x+y}{4}$

$x+y = 5.5 * \frac{x+y}{4} - \frac{3}{8}x$

$x+y = \frac{11}{8}(x+y) - \frac{3}{8}x$

$8x+8y = 11x+11y - 3x$

$8x+8y = 8x+11y$

$3y=0$

これはありえない。

甲は途中で休憩し、乙はB町まで休憩なしで進んだと解釈する。

甲はB町まで休憩なしで進んだとすると、

甲はA町からC町まで休憩なしで進む時間は、$t_甲 = \frac{x+y}{4}$

乙はA町からB町まで進む時間は、 $\frac{x}{5.5}$

乙はB町で休憩し、B町からC町まで進む時間は $\frac{y}{5.5}$

休憩時間は $t_休$ なので、

$t_乙 = \frac{x}{5.5} + \frac{y}{5.5} + t_休$

$t_乙 = t_甲$ なので、

$\frac{x}{5.5} + \frac{y}{5.5} + t_休 = \frac{x+y}{4}$

また、$t_休 = \frac{16}{60} = \frac{4}{15}$時間である。

$\frac{x+y}{5.5} + \frac{4}{15} = \frac{x+y}{4}$

$\frac{x+y}{4} - \frac{x+y}{5.5} = \frac{4}{15}$

$\frac{11(x+y) - 8(x+y)}{44} = \frac{4}{15}$

$\frac{3(x+y)}{44} = \frac{4}{15}$

$3(x+y) = \frac{176}{15}$

$x+y = \frac{176}{45}$

$16x + 27y = 16x + 27(\frac{176}{45} - x) = 16x + \frac{27 * 176}{45} - 27x = -11x + \frac{4752}{45}$

休憩時間は書いてないため、問題文通り解釈すると、乙はB町で$16$分休憩し、A町からC町まで同じ時間で到着。

$16x+27y$ の値を求める。

(2) $x = 1.8y$のとき、$x, y$の値を求める。

$x+y = \frac{176}{45}$

$1.8y+y = \frac{176}{45}$

$2.8y = \frac{176}{45}$

$y = \frac{176}{45*2.8} = \frac{176}{126} = \frac{88}{63} \fallingdotseq 1.3968$

$y \fallingdotseq 1.4$

$x = 1.8y = 1.8 * \frac{88}{63} = \frac{1.8*88}{63} = \frac{158.4}{63} = \frac{1584}{630} \fallingdotseq 2.514$

$x \fallingdotseq 2.5$

$16x + 27y = 16 * 2.5 + 27 * 1.4 = 40 + 37.8 = 77.8$

3. 最終的な答え

(1) 77.8

(2) $x \fallingdotseq 2.5, y \fallingdotseq 1.4$