関数 $f(x) = \sin^2(3x)$ の微分 $f'(x)$ を求め、その結果を利用して $f'(\frac{\pi}{4})$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin^2(3x)$ の微分 $f'(x)$ を求め、その結果を利用して $f'(\frac{\pi}{4})$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \sin^2(3x)$ を微分します。合成関数の微分法を用いると、

$f'(x) = 2\sin(3x) \cdot (\sin(3x))' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x)$

したがって、問題文の式 $f'(x) = [39] \sin(3x) \cos(3x)$ より、[39] に入る数字は 6 です。

次に、$f'(\frac{\pi}{4})$ を計算します。

$f'(\frac{\pi}{4}) = 6\sin(\frac{3\pi}{4})\cos(\frac{3\pi}{4})$

$\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$f'(\frac{\pi}{4}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 6 \cdot (-\frac{2}{4}) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3$

したがって、$f'(\frac{\pi}{4}) = [40] [41]$ より、[40] に入る数字は -3、[41] には何も入りません。問題文の形式から、-3を-3.0と考えて、[40]=-3, [41]=0とします。

3. 最終的な答え

$f'(x) = 6\sin(3x)\cos(3x)$

$f'(\frac{\pi}{4}) = -3$

よって、[39] = 6, [40] = -3, [41] = 空欄(もしくは0)